黑龙江省哈尔滨市第九中学校2024届高三上学期开学考试数学试题

哈九中2024届高三学年上学期开学考试数学试题 (考试时间:120分钟 满分：150分) I卷 一、单选题:本题共有8个小题,每小题5分,共40分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1.设全集,集合,则 A. B. C. D. 2.已知正实数满足,则的最大值是（）. A.2 B. C. D. 3.若:实数使得“”为真命题,:实数使得“”为真命题,则是的（） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 4.函数的图象可能是（） 5.若函数,在上单调递增,则实数的取值范围是() A. B. C. D. 6.设函数,若,则则最小值为，） A. B. C. D. 7.已知是定义在上的偶函数且在上为减函数,若,,则) A. B. C. D. 8.定义表示两个数中的较小者,表示两个数中的较大者,设集合都是的含有两个元素的子集,且满足:对任意的都有,,则的最大值是) A.2 B.3 C.4 D.5 二、多选题:本题共4个小题,每小题5分,共20分,在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求,全部选对的得5分,有选错的得0分,部分选对的得2分. 9.下列结论正确的是 A.“”是“”的充分不必要条件 B.“是“”的必要不充分条件 C.“的否定是“ D.“是方程的实数根”的充要条件是“ 10.下列各式正确的是（） A.设则 B.已知,则 C.若,则 D. 11.设函数的定义域为为奇函数,为偶函数,当时,1.则下列结论正确的是（） A. B. C. D. 12.若,则 A. B. C. D. Ⅱ卷 三、填空题:本题共有4个小题,每小题5分,共20分... 13.已知幂函数满足、则 . 14.《几何原本》中的几何代数法是以几何方法研究代数问题,这种方法是后西方数学家处理问题的重要依据,通过这一原理很多的代数公理或定理都能够通过图形实现证明,也称之为无字证明,现有图形如图所示,为线段上的点,且为的中点,以为直径作半圆,过点作的垂线交半圆于,连结过点作的垂线,垂足为,若不添加辅助线,则该图形可以完成的所有无字证明为 .(填写序号) ①; ②; ③ ④ 15.已知函数,.则不等式的解集为 . 16.已知,则最小值为 . 四、解答题:本题共有6个小题,共70分. 17.设函数,集合 (1)证明:. (2)当时,求. 18.2023年7月8日,哈尔滨获得2025年第九届亚冬会举办权,这为冰雪设备生产企业带来了新的发展机遇,某冰雪装备器材生产企业,生产某种产品的年固定成本为2000万元,每生产千件,需另投入成本（万元）.经计算若年产量千件低于100千件,则这千件产品成本;若年产量千件不低于100千件时,则这千件产品成本.每千件产品售价为100万元,为了简化运算我们假设该企业生产的产品能全部售完. （1）写出年利润(万元)关于年产量(千件)的函数解析式; （2）当年产量为多少千件时,企业所获得利润最大?最大利润是多少? 19.已知的定义域为,对任意都有,当时, (1)求; (2)证明:在上是减函数; (3)解不等式:. 20.已知.定义,设. (1)若,画出函数的图象并直接写出函数的单调区间; (2)定义区间的长度.若 ,则 .设关于的不等式的解集为.是否存在实数, 且,使得?若存在,求出的值;若不存在,请说明理由. 21.如图,在四棱锥中,平面平面,. (1)求证:; (2)若点为棱上不与端点重合的动点,且与平面所成角正弦值为,求点到平面的距离. 22.已知函数 (1)求函数的单调区间; (2)若,证明:在上恒成立; (3)若方程有两个实数根,且,求证: $$