5.6 几何证明举例第4课时 课件 2023—2024学年青岛版数学八年级上册

几何证明举例第4课时 一、预习诊断 下列说法中，错误的是（ ）。 A．三角形任意两个角的平分线的交点都在三角形内部 B．三角形任意两个角的平分线的交点到三角形三边的距离相等 C．三角形任意两个角的平分线的交点都在第三个角的平分线上 D．三角形任意两个角的平分线的交点到三角形三个顶点的距离都相等 D 教学目标 1.掌握并证明角平分线的性质定理及其逆定理； 2.会运用角平分线的性质定理及其逆定理解决有关实际问题。 回顾与思考 1.什么叫角的平分线？ 2.根据本册第二章的学习你知道角的垂直平分线有什么性质？ 3.这个性质你是怎样得到的？这个性质是真命题吗？你能用 逻辑推理的方法，证明它的真实性吗？ 二、精讲点拨 证明:角平分线上的点到这个角的两边的距离相等 P M N C B A D 已知：如图,BD是∠ABC的平分线,点P在BD上，PM⊥AB,PN⊥BC,垂足分别是点M和N. 求证:PM=PN 温馨提示：证明的推理过程可以用文字语言，也 可以用符号语言。 符号语言 角平分线的性质定理： ∵点P在的平分线BD上 PM⊥BA,PN⊥BC ∴PM=PN P M N C B A D 交流与发现 你能说出角平分线的性质定理的逆命题吗？它是真命题吗？ 应如何证明它的真实性? 角的内部到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上. P N M B A C 已知:如图,点P是∠ABC内的一点，PM⊥AB,PN⊥BC,垂足分别是M与N，且PM=PN 求证:点P在∠ABC的平分线上 符号语言 角平分线的判定定理： ∵ PM⊥BA,PN⊥BC，PM=PN ∴点P在∠ABC的平分线上 （或BP是∠ABC的平分线） P N M B A C 典型例题 我们通过画图得知三角形三条平分线交于一点，如何证明这个结论？ 例:已知：如图，AM，BN，CP是△ABC的三条角平分线。 求证：AM，BN，CP交于一点。 解析：要证明三角形的三条角平分线交 与一点，只要证明两条角平分线的交点也在第三条角评分线上就可以了。 F O E D 证明：如图所示，设AM ，BN交于点O。过点O分别作OD⊥BC，OE⊥AC，OF⊥AB，垂足分别为点D，E,F 。 ∵O是∠BAC角平分线 AM上的一点（已知）， ∴OE=OF（角平分线上的点到这个角的两边的距离相等） 同理，OD=OE ∴ OD=OE（等量代换） ∵CP是∠ACB的平分线（已知） ∴O在CP 上（角的内部到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上） 因此，AM,BN,CP交于一点。 小试身手 如图24-79，△ABC中，AB＝AC，M是BC的中点，MD⊥AB，ME⊥AC，D、E是垂足。 求证：MD＝ME。 解:∵M是BC的中点 ∴BM=CM ∵AB=AC ∴△ABC是等腰三角形, ∠B=∠C ∵MD⊥AB,ME⊥AC ∴∠BDM=∠CEM 在△BDM与△CEM中 ∵∠B=∠C，∠BDM=∠CEM，BM=MC ∴△BDM≌△CEM(AAS) ∴MD=ME(全等三角形的对应边相等) 再试身手 如图，在△ABC中，∠BAC=90°，在BC上截取BF=BA，作DF⊥BC交AC于D点，AE⊥BC于E点，交BD于G点，连接GF，求证：DG平分∠AGF． 证明：∵∠BAC=90°，DF⊥BC， ∴在Rt△ABD≌Rt△FBD中， ∴Rt△ABD≌Rt△FBD， ∴∠ADB=∠FDB，AD=FD， 在△AGD和△FGD中， ∴△AGD≌△FGD ∴∠AGD=∠FGD， 即DG平分∠AGF． 三、系统总结 1.角平分线的性质定理： 角平分线上的点到这个角两的两边的距离相等。 作用：证明两条线段相等 2.角平分线性质定理的逆定理： 角的内部到角的两边距离相等的点点在这个角的平分线上。 作用:证明两个角相等或线是角平分线 3.符号语言： 角平分线的性质定理： ∵点P在的平分线BD上 且 PM⊥BA,PN⊥BC ∴PM=PN 平分线的判定定理： ∵ PM⊥BA,PN⊥BC，且PM=PN ∴点P在∠ABC的平分线上 （或BP是∠ABC的平分线） 四、当堂达标（见学案） $$