4.2 对数10种常见考法归类-【考点通关】2023-2024学年高一数学高频考点与解题策略(苏教版2019必修第一册)

4.2 对数10种常见考法归类 1.对数的概念 如果ab＝N(a>0，a≠1)，那么就称b是以a为底N的对数，记作logaN＝b，其中，a叫作对数的底数，N叫作真数. 注：对数概念中为什么规定a>0，且a≠1呢？ (1)若a<0，则当N为某些值时，x的值不存在．如：x＝log(－2)8不存在． (2)若a＝0，则 ①当N≠0时，x的值不存在．如：log03(可理解为0的多少次幂是3)不存在； ②当N＝0时，x可以是任意实数，是不唯一的，即log00有无数个值． (3)若a＝1，则 ①当N≠1时，x的值不存在．如：log13不存在； ②当N＝1时，x可以为任意实数，是不唯一的，即log11有无数个值． 因此规定a>0，且a≠1. 2.常用对数与自然对数 通常将以10为底的对数称为常用对数，并把log10N记为lgN.另外，在科技、经济以及社会生活中经常使用以无理数e＝2.718 28…为底数的对数，以e为底的对数称为自然对数，并把logeN记为lnN. 注：对数概念理解：ax＝N和x＝logaN(a＞0且a≠1)进行互化时，要分清各字母在指数式和对数式中的位置.此外要注意并不是每一个指数式都能直接改写成对数式，如(－2)4＝16不能写成log(－2)16＝4. 3.对数的基本性质 (1)负数和零没有对数． (2)loga 1＝0(a>0且a≠1)． (3)logaa＝1(a>0且a≠1)． (4)loga＝－1(a>0且a≠1)． (5)对数恒等式：a＝N(a>0，a≠1，N>0)． 4.对数运算性质 loga(MN)＝logaM＋logaN， logaMn＝nlogaM， loga＝logaM－logaN (以上各式中a>0且a≠1，M>0，N>0，n∈R) 拓展：logamMn＝logaM(a>0且a≠1，M>0，n∈R，m≠0) 注：对数的运算性质的适用条件是“同底，且真数为正”，即a>0，a≠1，M>0，N>0.若去掉此条件，性质不一定成立，如log3≠log3(－8)－log3(－3). 5.换底公式 logaN＝，其中a>0，a≠1, N>0，c>0，c≠1. 特别地logab·logba＝1(a>0且a≠1，b>0且b≠1). 注：①换底公式中的底数c可以是大于0且不等于1的任意数. ②可用换底公式证明以下结论： ①； ②； ③； ④； ⑤. 6.指数式与对数式互化的思路 (1)指数式化为对数式：将指数式的幂作为真数，指数作为对数，底数不变，写出对数式. (2)对数式化为指数式：将对数式的真数作为幂，对数作为指数，底数不变，写出指数式. 图示如下： 7.对数式中求值的基本思想和方法 (1)基本思想 在一定条件下求对数的值，或求对数式中字母参数的值，要注意利用方程思想求解. (2)基本方法 ①将对数式化为指数式，构建方程转化为指数问题. ②利用幂的运算性质和指数的性质计算. (3)基本策略 ①已知底数与指数，用指数式求幂. ②已知指数与幂，用指数式求底数. ③已知底数与幂，利用对数式表示指数. 8.指数式与对数式的关系 (1)对数概念与指数概念有关，指数式和对数式是互逆的，即ab＝N⇔logaN＝b(a＞0，且a≠1，N＞0)，据此可得两个常用恒等式：①logaab＝b；②alogaN＝N. (2)在关系式ax＝N中，已知a和x求N的运算称为求幂运算，而如果已知a和N求x的运算就是对数运算，两个式子实质相同而形式不同，互为逆运算. 9．利用对数性质求解的2类问题的解法 (1)求多重对数式的值解题方法是由内到外，如求loga(logbc)的值，先求logbc的值，再求loga(logbc)的值． (2)已知多重对数式的值，求变量值，应从外到内求，逐步脱去“log”后再求解． 10．性质alogaN＝N与logaab＝b的作用 (1)alogaN＝N的作用在于能把任意一个正实数转化为以a为底的指数形式． (2)logaab＝b的作用在于能把以a为底的指数转化为一个实数． 11.利用对数运算性质化简与求值的原则和方法 (1)基本原则： ①正用或逆用公式，对真数进行处理，②选哪种策略化简，取决于问题的实际情况，一般本着便于真数化简的原则进行. (2)两种常用的方法： ①“收”，将同底的两对数的和(差)收成积(商)的对数； ②“拆”，将积(商)的对数拆成同底的两对数的和(差). 注：①这类问题一般有两种处理方法 一种是将式中真数的积、商、方根运用对数的运算法则将它们化为对数的和、差、积、商，然后化简求值； 另一种方法是将式中的对数的和、差、积、商运用对数的运算法则将它们化为真数的积、商、幂、方根，然后化简求值．要特别注意loga(MN)≠loga M·loga N，loga(M±N)≠l