精品解析：上海市莘庄中学2022-2023学年高一下学期5月月考数学试题

2022学年第二学期莘庄中学高一5月考试数学试卷 （时间：120分钟 满分:150分） 一.填空题（本大题共12题，满分54分，第1~6题每题4分，第7~12题每题5分） 1. 已知向量，，则向量的单位向量是________. 2 复数满足，则___________. 3. 若扇形的圆心角为，面积为，则扇形的半径为_________. 4. 已知向量，，且与的夹角为60°，则________. 5. 中，若，，则________. 6. 已知复数，，其中i为虚数单位，若为纯虚数，则实数a的值为_______． 7. 化简：______． 8. 在中，角、、的对边分别记为、、，若，则________. 9. 如图，直线､与轴正方向的夹角分别为和，， ，则的坐标是________. 10. 设和是关于x的方程的两个虚数根，若、、在复平面上对应的点构成直角三角形，则实数________. 11. 已知，若点是所在平面内一点，且，则的最大值为_____． 12. 已知，，，且，为钝角，若的最小值为，则的最小值是_________ 二.选择题（本大题共4题，13、14题4分，15、16题5分，共18分） 13. 下列函数中，周期为1奇函数是（ ） A. B. C. D. 14. 设、为复数，下列命题一定成立的是（ ） A. 如果，那么 B. 如果，那么 C. 如果，是正实数，那么 D. 如果，那么为实数 15. 设单位向量和既不平行也不垂直，对非零向量，，有结论：① 若，则；② 若，则；关于以上两个结论，正确的判断是 A. ①成立，②成立 B. ①不成立，②不成立 C. ①成立，②不成立 D. ①不成立，②成立 16. 设，，为同一平面内具有相同起点的任意三个非零向量，且满足与不共线，，，则的值一定等于（ ）． A. 以，为两边的三角形面积 B. 以，为邻边的平行四边形的面积 C. 以，为两边的三角形面积 D. 以，为邻边的平行四边形的面积 三.解答题（本大题共5题，共分） 17. 已知向量，. （1）若，求的值； （2）若∥，求 18. 已知函数. （1）求函数在上的值域和单调递增区间； （2）若关于的方程在上有两个不同的实数解，求实数的取值范围. 19. 某公园现利用改地建设两块三角形花圃ABD与BCD,如图所示,其中米，米,,且． (1)若,求的大小；（精到） (2)当为何值时,两块花圃的总面积最大？并求出此最大值．（精确到1平方米） 20. 已知关于的实系数一元二次方程 （1）若，求方程的两个根； （2）若方程有两虚根，，求的值； （3）若方程的两根为，其在复平面上所对应的点分别为，点关于轴的对称点为（不同于点），如果，求的取值范围. 21. （1）如图，在中，为边上的高，，，，，求的值； （2）如图，半径为1，圆心角为圆弧上有一点，若、分别为线段、的中点，当在圆弧上运动时，求的取值范围； （3）已知等边三角形边长为，为三角形所在平面上一点.求的最小值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2022学年第二学期莘庄中学高一5月考试数学试卷 （时间：120分钟 满分:150分） 一.填空题（本大题共12题，满分54分，第1~6题每题4分，第7~12题每题5分） 1. 已知向量，，则向量的单位向量是________. 【答案】 【解析】 【分析】首先求出向量的坐标与模，再根据向量的单位向量为计算可得. 【详解】因为，， 所以，则， 所以向量的单位向量为. 故答案为： 2. 复数满足，则___________. 【答案】1 【解析】 【分析】先根据复数的除法求复数，再根据复数的概念分析求解. 【详解】由题意可得：， 所以 故答案为：1. 3. 若扇形的圆心角为，面积为，则扇形的半径为_________. 【答案】 【解析】 【分析】利用扇形的面积公式可求得该扇形的半径. 【详解】设扇形的半径为，则该扇形的面积为，解得， 故该扇形的半径为. 故答案为：. 4. 已知向量，，且与的夹角为60°，则________. 【答案】7 【解析】 【分析】由计算． 【详解】 ， 所以7. 故答案为：7. 【点睛】本题考查向量的模与向量的数量积，解题关键就是掌握数量积的性质，把向量的模的平方转化向量的平方，用数量积计算． 5. 中，若，，则________. 【答案】-4 【解析】 【分析】先由已知条件求得，的夹角为，再结合向量的数量积的运算求解即可. 【详解】解：在中， ，， 则， 又的夹角为， 所以， 故答案为：. 【点睛】本题考查了向量的数量积的运算，重点考查了向量的夹角，属易错题. 6. 已知复数，，其中i为虚数单位，若为纯虚数，则实数a的值为____