2023年全国中学生奥林匹克数学竞赛浙江赛区初赛考前押题最后一卷

1 2023年全国中学生奥林匹克数学竞赛浙江赛区初赛 考前押题最后一卷 命题：筑梦杯组委会 审题：金华一中 一、填空题（每题 5分，共 60 分） 1．已知正实数 ,x y满足 ( 2 ) 9x x y  ，则 2( ) y x y 的最大值为 。 2．已知点集 {( , ) | 1 2 3}T x y x y     ，数集 { 2 | ( , ) }M x y x y T   ，则集合 M中最大元 素与最小元素之和为 。 3．已知函数 2( 2) x x af x    ，若 { | ( ) } { | ( ( )) }x f x x x f f x x   ，则实数 a 的取值范围 为 。 4．计算 cos5 cos55 cos65     。 5．在 ABC△ 中， 60 , 2 3A BC  o ，O为 ABC△ 的外心， , ,D E F 分别为 , ,AB BC CA的中 点，若 2 2 2 4OD OE OF      ，则OA OB OB OC OC OA            。 6．若数列 1 2 3 4, , ,a a a a 满足 1 4 2 3a a a a   ，则称此数列为好数列。现从1,2, ,9,10 这 10个 数中随机选取 4 个不同的数，则这 4 个数经过适当的排列后可以构成好数列的概率 为 。 7．设 2023 2 20230 1 2 2023(1 3 )x a a x a x a x      ，则 0 1 2 3 4 5 2022 2023) )( )( ( )(a a a a a a a a         。 8．若二次方程 2 0ax bx c   （ , ,a b c 为非零整数）的互异的两个根也是方程 3 2 0x bx ax c    的根，则 a b c  的值为 。 9．已知向量 ,a b   不共线，夹角为 ，且 4 22, 1,a b bb a a            ，若 4 3 2 2 3   ， 则 cos 的最小值为 。 10．在同一平面直角坐标系中， ,P Q分别是函数 ( ) e ln( )xf x ax ax  和 2ln( 1)( ) xg x x   图象 上的动点，若对任意 0a  ，有 PQ m 恒成立，则实数 m的最大值为 。 2 11．在棱长为 1的正方体 1 1 1 1ABCD A B C D 中，动点 P在平面 1ACD 上运动，满足 1 4 3 B P  ， 设点 Q为三棱锥 1B ACD 外接球球面上的任意一点，则当平面 PAD与平面 1ADB 夹角的正 切值为 6 时， PQ 的最大值为 。 12．将形如 abab且能表示为 2 1( )n n  N 的四位数称为好数，则好数的最大值与最小值之 差为 。 二、解答题（共三题，各 20 分，合计 60 分） 13．已知椭圆 2 2: 1 4 x y   ，过点 ( 1,0)A  的直线 l与交于 ,M N 两点。 （1）设点 (1,0)B ，直线 ,BM BN 与 分别交于 ,C D两点。记直线 ,CD MN 的倾斜角分别为 ,  ，若  ，求 tan( )  的最大值； （2）设 l 与直线 4x   交于点 P，E 为直线 1x   上不同于点 A 的任意一点。记直线 , ,EM EN EP的斜率分别为 1 2 3, ,k k k ，证明：存在1,2,3的一个排列 1 2 3, ,i i i ，使得 1 2 3, ,i i ik k k 成等 差数列。 14．设数轴上有一只兔子，从坐标 0 0x  开始，每秒以 1( ) 2 p p  的概率沿正方向跳一个单位， 以 (1 )p 的概率沿负方向跳一个单位。记兔子第 n秒时的位置为 ( 0,1, )nx n   。 （1）证明： ( ) 0nE x  ； （2）记 ( )f n 是表达式 1 C ( 0,1, , ) 2 k nn k n  的最大值，证明： ( 0) 1 ( )2 1n pP x f n p     。 15 ． 给 定 实 数 (0,1)a ， 设 正 实 数 0 1, , , nx x x 满 足 0 1 nx x x n a     且 0 1 1 1 1 1 n n x x x a      ，试求 2 2 20 1 nx x x   的最