2023年全国中学生数学奥林匹克竞赛（预赛)暨2023年全国高中数学联合竞赛(浙江省六校2022-2023学年下学期第四次联考)试题

2023年全国中学生数学奥林匹克竞赛（预赛） 暨 2023年全国高中数学联合竞赛 一试试题（模拟 4） 一、填空题：本大题共 8小题，每小题 8分，满分 64分． 1．已知 1 1sin( ) ,cos sin 3 6       ，则 cos(2 2 )  的值为 ． 2．等比数列{ }na 的前 n项和为 nS ，若 24 6 215,S SS   ，则 8S  ． 3．从圆内接正八边形的 8个顶点中任取 3个顶点构成三角形，则所得的三 角形是直角三角形的概率是 ． 4．已知定义域为R的偶函数 ( )f x 满足 ( 2) ( )f x f x   ，若 2023 1 ( ) 1 k f k    ， 则 (0)f 的值为 ． 5．已知 z为复数，且关于 x的方程 2 4 3i 0x zx    有实数解，则 z 的最小 值为 ． 6．在平面直角坐标系中，直线 l与双曲线 2 2 2 2: 1( 0, 0) x y a b a b      的左右 两支交于 ,A B两点，与的渐近线交于 ,C D两点，且 , , ,A C D B在 l上顺次排列．若 OA OB ， , ,AC CD DB 成等差数列，则的离心率的取值范围是 ． 7．已知在四棱锥 P ABCD- 中， 60APB BPC CPD DPA         , ,APC BPD PB PD    ． 若该四棱锥存在半径为 1的内切球，且 6PA  ，则 PC的长为 ． 8．令实数集 1 2 3 4 5 6}{ , , , , ,S a a a a a a ，定义函数 :f S S® ，使得 2 3 4 5 61( )) ( ) ( )( ( ) ( )) ( )) ( )( ) (( ( )f f a f f a f f a f f a f f a f f a= = = = = ， 则满足条件的 f的个数为 ． 二、解答题：本大题共 3小题，满分 56分，解答应写出文字说明、证明过 程或演算步骤． 9.（本题满分 16分）设实数 , ,x y z满足0 , , 1x y z< < ，求 S的最小值，其中 ( ) ( )(1 ) 1 xyz x y z xy yz zx xyzS xyz xyz + + + + + - = - ． 10.（本题满分 20分）已知函数 3( ) 2 2f x x x  ，若正实数 a使得存在三个 两两不同的实数 , ,b c d，满足 ( , ( )), ( , ( )), ( , ( )), ( , ( ))a f a b f b c f c d f d 恰好为一个矩形 的四个顶点，求 a的取值范围． 11.（本题满分 20分）在平面直角坐标系 xOy中，拋物线 2: 4C y x= 的焦点 为 F ，过点 F的直线交 C于 ,A B两点（其中点 A在第一象限），过点 A作 C的 切线交 x轴于点 P，直线 PB交 C于另一点Q，直线 QA交 x轴于点T． (1) 证明： AF AT BF QT× = × ； (2) 记 , ,AOP AFT BQTD D D 的面积分别为 1 2 3, ,S S S ，当点 A的横坐标大于 2 时，求 3 2 1 S S S- 的最小值． 1 2023年全国中学生数学奥林匹克竞赛（预赛） 暨 2023年全国高中数学联合竞赛 一试（模拟 4）参考答案及评分标准 说明： 1．评阅试卷时，请依据本评分标准．填空题只设 8分和 0分两档；其他各题的 评阅，请严格按照本评分标准的评分档次给分，不得增加其他中间档次． 2．如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理、步骤正确，在评卷时可 参考本评分标准适当划分档次评分，解答题中第 9小题 4分为一个档次，第 10、 11小题 5分为一个档次，不得增加其他中间档次． 一、填空题：本大题共 8小题，每小题 8分，满分 64分． 1．已知 1 1sin( ) ,cos sin 3 6       ，则 cos(2 2 )  的值为 ． 答案： 1 9 ． 解：因为 1sin( ) sin cos cos sin 3          ，而 1cos sin 6    ，因此 1sin cos 2    ， 则 2sin( ) sin cos cos sin 3          ，所以 2 22 1cos(2 2 ) cos 2( ) 1 2sin ( ) 1 2 ( ) 3 9                ． 2．等比数列{ }na 的前 n项和为 nS