浙江省2022-2023学年下学期高中数学竞赛六校第二次联考一试和加试试题

机密 ★ 启用前 2022学年第二学期数学竞赛六校第二次联考 一试试题 一、填空题：本大题共 8小题，每小题 8分，满分 64分． 1. 设实数 1 2,x x 满足 1 1 2 22 ln 3, ln 1)(1 2x x x x     ，则 1 2x x  ． 2. 已知球O的半径为 1，四棱锥的顶点为O，底面的四个顶点均在球O的球 面上，则当该四棱锥的体积最大时，其高为 ． 3. 设复数 6( i)z a  R，且1 3z  ，则实数 a的值为 ． 4. 设钝角 满足 cos 3cos(2 )    ，则 tan(2 )  的最大值为 ． 5．定义域为R的函数 )(xf 满足：当 )1,0[x 时， xxf x  2)( ，且对任意实 数 x，均有 1)1()(  xfxf ．记 3log2a ，则表达式 )3()2()( afafaf  的 值为 ． 6. 已知双曲线 2 2 2 2: 1( 0, 0) x yM a b a b     的左右焦点分别为 21,F F ，P为双曲 线右支上的一点，Q为 1 2PF FD 的内心．若 1 22 3 4QF QF PQ     ，则M 的离心率 为 ． 7. 已知数列{ }na 满足 1 1a  且 11 2 2n n na a a    ．设{ }na 的前 n项和为 nS ， 若 2023mS  ，则正整数m可能取值的个数为 ． 8. 袋中装有 6个相同的球，分别标有数字1,2,3,4,5,6，从中一次性随机取出 两个球，设两球标号为 1x 和 1y ，并记 1 1 1 1 1 1,u x y v x y    ．将球放回袋中，重 复上述操作，得到 2u 和 2v ．设平面向量 21 21 21( , (, ,) )n u v n u v    ，则 1n  与 2n  能构成 基底 1 2{ , }n n   的概率为 ． 二、解答题：本大题共 3小题，满分 56分，解答应写出文字说明、证明过 程或演算步骤． 9．（本题满分 16 分）在 ABCD 中， 2, 2BC AB AC  ，D为 BC的中点， 求 tan ADC 的最大值． 10．（本题满分 20分）已知 { 2 }( )nx n n  N ，其中{ } [ ]x x x  ，[ ]x 表示 不超过实数 x的最大整数．若数列{ }nx 满足 1( )( ( ))m nm n x x pp    N 对一切不 相等的正整数 ,m n成立，求 p的取值集合． 11．（本题满分 20分）在平面直角坐标系中，抛物线 2: 4C x y= 的焦点为 F ， 直线 3y kx= + 交C于 ,A B两点，延长 ,AF BF 分别交抛物线于 ,M N 两点．设 1 2 3 4, , ,FAB FMN FAN FBMS S S S S S S SD D D D= = = = ，求 1 3 4 2 S S S S + 的最小值． 1 2022学年第二学期数学竞赛六校第二次联考 一试解答 一、填空题：本大题共 8小题，每小题 8分，满分 64分． 1．设实数 1 2,x x 满足 1 1 2 22 ln 3, ln 1)(1 2x x x x     ，则 1 2x x  ． 答案：1． 解：设 ( ) 2 lnf x x x  ，则 1( ) 2 0f x x     ，故 ( )f x 在  0, 上为增函数，而  2 2ln 1 2 1x x   即为    2 22 1 ln 1 3x x    ，由题可得    1 21f x f x  ，所以 1 21x x  ， 即 1 2 1x x + ． 2．已知球O的半径为 1，四棱锥的顶点为O，底面的四个顶点均在球O的 球面上，则当该四棱锥的体积最大时，其高为 ． 答案： 4 3 27 ． 解：设该四棱锥底面为四边形 ABCD，四边形 ABCD所在小圆半径为 r，设四 边形 ABCD对角线夹角为 ，则 2 1 1 1sin 2 2 2 2 2 2ABCD S AC BD AC BD r r r           ， （当且仅当四边形 ABCD为正方形时等号成立）即当四棱锥的顶点O到底面 ABCD所在小圆距离一定时，底面 ABCD面积最大值为 22r ． 又设四棱锥的高为 h，则 2 2 1r h  ， 32 2 2 2 2 2 21 2 2 2 4 32 2 3 3 3 3 27O A