浙江省2022-2023学年下学期高中数学竞赛六校第一次联考一试和加试试题

2022学年第二学期数学竞赛六校第一次联考 一试试题 一、填空题：本大题共 8小题，每小题 8分，满分 64分． 1. 设 }3,2,1{A ， },,|2{ yxAyxyxB  ， },,|2{ yxAyxyxC  ， 则 CB 的所有元素之和为 ． 2 ． 已 知 等 差 数 列 { }na 的 公 差 为 d ， 随 机 变 量 X 满 足 ( ) 0 1, 1,2,3,4)(    i iP X i a a i ，则 d的取值范围为 ． 3．正三棱台的各顶点之间的距离构成的集合为{1, 3,2}，则该棱台的体积 为 ． 4．已知函数 ( ) cos  f x x a x 在 [0, ]b 上的值域为 31, 2     ，则 b a 的值 为 ． 5．在 ABCD 中， 23,| | 2 9        BC AB AB AC ，则 ABCD 面积的最大值 是 ． 6．设奇函数 ( )f x 的定义域为 R ，且对任意 1 2, (0, ) x x ，均有 1 2 1 2( ) ( ) ( ) f x x f x f x ．若当 1x 时， ( ) 0f x ，且 1 2 4       f ，则不等式 lg( ( ) 2) 0 f x 的解集为 ． 7．已知抛物线 2: 4C y x 的焦点为 F ， 1 2 3, ,P P P 在抛物线 C 上，满足 1 3 132 2 3 2π      PFP P FP PFP ，则 1 2 3 PF P F PF 的最小值为 ． 8．设正实数 , ,a b c满足 6 b c ，则 2 2 8 1    ac a bc a 最小值为 ． 二、解答题：本大题共 3小题，满分 56分，解答应写出文字说明、证明过 程或演算步骤． 9．（本题满分 16分）设 a是实数，关于 z的方程 2 2( 2 5)( 2 1) 0    z z z az 有四个互不相等的根，且它们在复平面上对应的四个点共圆．求 a的取值范围． 10 ．（ 本 题 满 分 20 分 ） 在 平 面 直 角 坐 标 系 中 ， 已 知 椭 圆 2 2 2 2 21 : , : 14 4    x xC y C y ，在椭圆 1C 上任取三点 , ,B C D，是否实数存在使 得 BCDD 与椭圆 2C 相切于三角形三边的中点？若存在，求的值；若不存在， 请说明理由． 11．（本题满分 20分）设正项数列{ }na 满足 1 2 1( )    n n n a a n a N ， nS 为{ }na 的前 n项和． (1) 若{ }na 是递增数列，求 1a 的取值范围； (2) 若 1 2a ，且对任意 n N ，均有 1 1 ( 1) 3   nS na n ，证明： 2 1 nS n ． 1 2022学年第二学期数学竞赛六校第一次联考 一试解答 一、填空题：本大题共 8小题，每小题 8分，满分 64分． 2 ． 已 知 等 差 数 列 { }na 的 公 差 为 d ， 随 机 变 量 X 满 足 ( ) 0 1, 1,2,3,4)(    i iP X i a a i ，则 d的取值范围为 ． 答案： 1 1, 6 6      ． 解：题意可知   4 1 2 3 4 1 1 4 6 1 i P X i a a a a a d          ，可得 1 1 64 da  ， 由0 1, 1,2,3,4ia i   可得 1 60 1 4 1 60 1 4 1 60 2 1 4 1 60 3 1 4 d d d d d d d                     ，解得 1 1 2 6 3 1 2 2 1 3 2 2 1 1 6 2 d d d d                  ， 综合可得，d的取值范围为 1 16 6 d   . 3．正三棱台的各顶点之间的距离构成的集合为{1, 3,2}，则该棱台的体积 为 ． 2 4．已知函数 ( ) cos  f x x a x 在 [0, ]b 上的值域为 31, 2     ，则 b a 的值 为 ． 答案： 5 2 ． 解：因为 0x a  ，cos 1x   ，所以当且仅当 0x a  且cos 1x   时 ( ) 1f x   ， 所以 2