第52讲 离散型随机变量及其分布列、均值与方差（讲义+课件）-2024年新高考数学一轮复习考点点点通与精准提升（新高考通用）

第52讲 离散型随机变量及其分布列、均值与方差 1.离散型随机变量 一般地，对于随机试验样本空间Ω中的每个样本点w，都有唯一的实数X(w)与之对应，我们称X为随机变量；可能取值为有限个或可以一一列举的随机变量称为离散型随机变量. 2.离散型随机变量的分布列 (1)定义：一般地，设离散型随机变量X的可能取值为，我们称X取每一个值xi的概率为X的概率分布列，简称分布列. (2)性质：①；②. 3.离散型随机变量的均值与方差 若离散型随机变量X的分布列为： X x1 x2 … xi … xn P p1 p2 … pi … pn (1)均值：称为随机变量X的均值或数学期望.它反映了离散型随机变量取值的平均水平. (2)方差：称为随机变量X的方差，并称为随机变量X的标准差，记为，它们都可以度量随机变量取值与其均值的偏离程度. (3)性质：①；②为常数). 4.两点分布 对于只有两个可能结果的随机试验，用A表示“成功”，表示“失败”，定义， 如果，则，那么X的分布列如下表所示. X 0 1 P p 我们称X服从两点分布或分布. 考点一 利用均值和方差的性质求解新的均值和方差 考点二 根据步骤列出离散型随机变量的分布列 考点三 利用均值和方差解决风险评估和决策型问题 考点一：利用均值和方差的性质求解新的均值和方差 例1．随机变量满足，且，则与的值分别为（    ） A． B．3，4 C．4，3 D． 【答案】A 【分析】根据二项分布的均值和方差公式求得，而，再根据均值和方差的性质即可求解. 【详解】因为，所以， 又，所以， 所以. 故选：A. 例2．已知随机变量，随机变量，若，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据二项分布的期望和方差公式，结合期望和方差的性质即可求解. 【详解】因为，所以，， 因为，所以，解得， 又，即，解得. 故选：B 例3．设一组数据的方差为0.1，则数据，，，…，的方差为（    ） A．0.1 B．0.2 C．0.4 D．2 【答案】C 【分析】根据方差的定义求解. 【详解】设的均值为，则的均值为， 的方差为， 故选：C． 例4．若一组样本数据的期望和方差分别为，则数据的期望和方差分别为（    ） A．3,1 B．11,1 C． D． 【答案】B 【分析】根据期望、方差的性质，结合原数据集中期望、方差求新数据集的期望、方差即可. 【详解】由原样本数据集中，而新数据集为， 所以新数据集中，. 故选：B 例5．随机变量的分布列是 1 2 若，则（    ） A．1 B．4 C． D． 【答案】D 【分析】根据以及求得，进而求得. 【详解】依题意①， ，整理得②， 由①②解得，且. 所以. 故选：D 考点二：根据步骤列出离散型随机变量的分布列 例6．（2023·山东烟台·统考二模）口袋中装有编号分别为1，2，3的三个大小和形状完全相同的小球，从中任取2个球，记取出的球的最大编号为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先求随机变量的分布列，再运用公式求 【详解】由题意，可能取值为2，3 包含事件为取出的两个球为1，2 所以 包含事件为取出的两个球为1，3或2，3 所以 ， . 故选：A. 例7．一个闯关游戏共三关，游戏规则：闯过第一关才能进入第二关，闯过第二关才能进入第三关，闯过三关或闯关失败则游戏结束且各关闯关是否成功是相互独立的．小明玩这个游戏，他能过一、二、三关的概率分别是，和. (1)求小明闯到第三关的概率. (2)记游戏结束时小明闯关成功的次数为随机变量，求的分布列及数学期望. 【答案】(1) (2)分布列见解析， 【分析】（1）依题意当小明第一、二关闯关成功时能够闯到第三关，根据相互独立事件的概率公式计算可得； （2）依题意的可能取值为、、、，求出所对应的概率，即可得到分布列与数学期望. 【详解】（1）依题意小明闯到第三关即第一、二关均闯关成功，故概率； （2）依题意的可能取值为、、、， 则，，， ， 所以的分布列为： 所以. 例8．一台机器生产某种产品，如果生产出一件甲等品可获利50元，生产出一件乙等品可获利30元，生产一件次品，要赔20元，已知这台机器生产出甲等、乙等和次品的概率分别为0.6、0.3和0.1，则这台机器每生产一件产品，平均预期可获利（    ） A．36元 B．37元 C．38元 D．39元 【答案】B 【分析】根据离散型随机变量的分布列，即可根据期望的公式进行求解. 【详解】由题意可得：设这台机器每生产一件产品可获利X，则X可能取的数值为50，30，，所以X的分布列为：，，，所以这台机器每生产一件产品平均预期可