第53讲 二项分布、超几何分布与正态分布（讲义+课件）-2024年新高考数学一轮复习考点点点通与精准提升（新高考通用）

第53讲 二项分布、超几何分布与正态分布 一、二项分布 1.伯努利试验与n重伯努利试验 (1)只包含两个可能结果的试验叫做伯努利试验. (2)将一个伯努利试验独立地重复进行n次所组成的随机试验称为n重伯努利试验. 2.二项分布 (1)定义：一般地，在n重伯努利试验中，设每次试验中事件A发生的概率为，用X表示事件A发生的次数，则X的分布列为.如果随机变量X的分布列具有上式的形式，则称随机变量X服从二项分布，记作 . (2)均值和方差：若，则. (3)当时，随机变量X服从两点分布，此时. 二、超几何分布 1.定义：一般地，假设一批产品共有N件，其中有M件次品.从N件产品中随机抽取n件(不放回)，用X表示抽取的n件产品中的次品数，则X的分布列为 其中.如果随机变量X的分布列具有上式的形式，那么称随机变量X服从超几何分布. 2.均值：设随机变量服从超几何分布，则可以解释为从包含件次品的件产品中，不放回地随机抽取件产品中的次品数.令，则是件产品的次品率，而是抽取的n件产品的次品率，则，即 . 三、正态分布 1.正态密度函数及其图象 (1)正态密度函数的解析式为. (2)正态密度函数对应的图象称为正态密度曲线，简称正态曲线. 2.正态分布 若随机变量X的概率分布密度函数为f(x)，则称随机变量X服从正态分布，记为.特别地，当时，称随机变量X服从标准正态分布. (4)当|x|无限增大时，曲线无限接近x轴. 3.正态曲线的特点 (1)曲线在x轴的上方，曲线与x轴围成的面积总为1; (2)曲线是单峰的，它关于直线对称; (3)曲线在处达到峰值 4.3σ原则 假设，可以证明：对给定的是一个只与有关的定值.特别地，，，. 在实际应用中，通常认为服从于正态分布的随机变量X只取中的值，这在统计学中称为3σ原则. 考点一 二项分布问题 考点二 超几何分布问题 考点三 正态分布问题 【答案】A 【分析】由对立事件概率求法有，结合二项分布概率公式求目标概率值. 【详解】由. 故选：A 考点一：二项分布问题 例1．（2023春·北京房山·高二统考期中）已知随机变量，则的值为（    ） A． B． C． D． 【详解】由题意知，该同学5次全命中得10分，4次命中1次没命中得7分，3次命中2次没命中得4分，所以5次投篮后李同学得分超过5分有2种情况，即5次全命中和4次命中1次没命中，其中5次全命中的概率为，4次命中1次没命中的概率为， 所以所求概率为. 故选：D. 例2．（2023·全国·模拟预测）某学校高一年级进行趣味投篮比赛，规定投进球加2分，没有投进扣1分，已知李同学投篮的命中率为，且每次投篮是否命中相互独立，则经过5次投篮后李同学得分超过5分的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先分析出经过5次投篮后李同学得分超过5分的所有情况，再分别计算每种情况的概率，结合互斥事件的概率加法，即可得解. 【详解】由于小球每次遇到黑色障碍物时，有一次向左和两次向右或两次向左和一次向右下落时，小球将落入A袋，所以． 故选：C． 例3．（2022·全国·高三专题练习）将一个半径适当的小球放入如图所示的容器最上方的入口处，小球将自由下落．小球在下落的过程中，将3次遇到黑色障碍物，最后落入袋或袋中．已知小球每次遇到黑色障碍物时，向左、右两边下落的概率都是，则小球落入袋中的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用二项分布概率公式计算即得. 【详解】表示选出的个代表中有个男生个女生， 则. 故选：B. 例4．（2023春·吉林长春·高二长春市第十七中学校考阶段练习）已知8名学生中有5名男生，从中选出4名代表，记选出的代表中男生人数为X，则（    ） A． B． C． D．1 【答案】B 【分析】根据超几何分布的概率公式计算即可. 例5．（2023·全国·高三专题练习）设某种疾病的发病概率是0.01，则在500人的社区中进行普查，最有可能的发病人数是______. 【答案】5 【详解】设发病人数为，易知.由此知，，，，∴最有可能的发病人数为5. (2)17 【分析】（1）由条件概率公式求解即可； （2）从该校随机选1名学生，求出该学生对新闻大事关注度极高的概率，由题意得，由二项分布的期望公式求解即可. 例6．（2023春·辽宁朝阳·高二校联考期中）第十四届全国人民代表大会第一次会议于2023年3月5日上午开幕，3月13日上午闭幕．某校为了鼓励学生关心国家大事，了解学生对新闻大事的关注度，进行了一个随机问卷调查，调查的结果如下表所示． 男学生 女学生 合计 关注度极高 45 40 85 关注度一般 5 10 15 合计 50 50 100 (1)若从该校随机选1名学生，已知选到的