四川省绵阳市三台中学校2022-2023学年高二下学期(高考假期作业三)理科数学试题

2021级高二下期数学（理）中高考假期作业（三） 6月8日 班级： 姓名： 得分： 一、选择题（每小题8分，共48分） 1．已知复数z满足，则z的虚部是（    ） A． B． C． D． 2．已知直线m、n，平面，满足且，则“”是“”的（     ）条件 A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分也不必要 3．在复平面内，复数（为虚数单位），则对应的点的坐标为（    ） A． B． C． D． 4．在三棱锥中，平面，D，E，F分别是棱的中点，，则直线与平面所成角的正弦值为（     ） A． B． C． D． 5．如图，在平行六面体中，底面是边长为1的正方形． 若，且，则的长为（    ） A． B． C． D．2 6．已知动点P在正方体的对角线(不含端点)上.设，若为钝角，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 二、填空题（每小题8分，共24分） 7．若复数为纯虚数，则实数的值为________． 8．如图所示，在正四棱柱中，若，，则异面直线与所成角的余弦值为______． 9．正多面体也称柏拉图立体，被誉为最有规律的立体结构，是所有面都只由一种正多边形构成的多面体（各面都是全等的正多边形）数学家已经证明世界上只存在五种柏拉图立体，即正四面体、正六面体、正八面体、正十二面体、正二十面体.已知一个正八面体ABCDEF的棱长都是2（如图），P，Q分别为棱AB，AD的中点，则________. 三、解答题（每小题14分，共28分） 10．如图，在三棱柱中，侧面底面，侧面是菱形，，，. (1)若为的中点，求证：； (2)求二面角的正弦值. 11．已知函数. (1)当时，求函数在点处的切线方程； (2)设是函数的两个极值点，证明：. 试卷第2页，共2页 试卷第1页，共2页 2021级高二下期数学（理）中高考假期作业（三）参考答案 1-6．BBDBAC 7．1 8． 9．1 6．C 设正方体的棱长为1，则有 ∴，∴设， ∴， ， 由图知不是平角，∴为钝角等价于，∴， ∴， 解得∴的取值范围是 9．1 正八面体ABCDEF中，不共面，而P，Q分别为棱AB，AD的中点， 有，，则， ， . 10．（1）∵侧面是菱形，∴，∵为的中点，∴， ∵侧面底面，侧面底面，，底面， ∴侧面，∵侧面，∴， ∵，∴平面，∵平面，∴. （2）取中点，连接，从而，又由，则， ∵侧面底面，侧面底面，∴底面， 以为坐标原点，以，，为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，如图： 由已知条件和上图可知，，，，， 由题意可知，为平面的一个法向量，不妨设平面的一个法向量，因为，， 从而， 令，则，，即， 设二面角为，由图可知为钝角， 从而，即， 故二面角的正弦值为. 11．（1）当时，，， 所以，. 所以函数在点处的切线方程为，即. （2）令， 即有两个不等正实根， 则解得.所以，. 故 ，其中. 令，，， 当时，，当时，， 所以在上单调递增，在上单调递减， 故. 所以成立. 答案第2页，共2页 答案第1页，共2页 $$