专题10 空间向量在立体几何中的三种考法-2024年高考数学复习大题题型归纳与满分秘籍（新高考版）

专题10 空间向量在立体几何中的三种考法 一、空间角的向量求法 1．如图，在四棱锥中，底面是边长为2的菱形，，且平面，，，分别是，的中点，是上一点，且.    (1)求证：平面； (2)若，求直线与平面所成角的余弦值. 2．如图，在四棱锥中，底面ABCD为正方形，平面ABCD，E为PD的中点，.    (1)求证：PB平面AEC； (2)求平面PAC与平面AEC所成角的余弦值. 3．已知图1是由等腰直角三角形和菱形组成的一个平面图形，其中菱形边长为4，，．将三角形沿折起，使得平面平面（如图2）．    (1)求证：； (2)求二面角的正弦值． 4．如图，四棱锥中，四边形为梯形，∥，，，，，M，N分别是PD，PB的中点．      (1)求证：直线∥平面； (2)求平面与平面夹角的余弦值． 5．如图，在四棱锥中，底面为矩形，平面，点是的中点.    (1)证明：； (2)设的中点为，点在棱上（异于点，，且，求直线与平面所成角的正弦值. 6．已知三棱台，面，，，D是线段中点，且.    (1)证明：； (2)请选择合适的基底向量，求直线与所成角的余弦值. 7．如图，在三棱柱中，，．    (1)证明：； (2)若，，，求二面角的余弦值． 8．如图，在四棱锥中，平面，，，，，点是的中点.    (1)证明：； (2)求直线与平面所成的角的正弦值. 9．如图，平行六面体的体积为6，截面的面积为6．    (1)求点到平面的距离； (2)若，，求直线与平面所成角的正弦值． 10．如图所示，在多面体中，底面为矩形，且底面∥.    (1)证明：∥平面. (2)求平面与平面夹角的余弦值. 11．如图，在四棱锥中，底面ABCD是矩形，平面ABCD，，E，M分别为线段AB，PC的中点，连接CE，延长CE并与DA的延长线交于点F，连接PE，PF.    (1)求证：平面PFD. (2)求平面APE与平面PEF所成角的正弦值. 12．如图1，在五边形中，四边形为正方形，，，如图2，将沿折起，使得A至处，且．    (1)证明：平面； (2)求二面角的余弦值． 13．如图，在斜三棱柱中，，，的中点为，的中点为.    (1)证明：OD∥平面； (2)若，，，求平面与平面所成角的大小. 14．如图，在底面为正方形的四棱台中，已知，，，A到平面的距离为.    (1)求到平面的距离； (2)若，求直线与平面所成角的正弦值. 15．如图，多面体中，四边形是菱形，，，，，，平面，.    (1)求； (2)求二面角的正弦值. 二、已知空间角求其他量 16．如图，在三棱锥中，底面，.点、、分别为棱、、的中点，是线段的中点，，.    (1)求证：平面； (2)已知点在棱上，且直线与直线所成角的余弦值为，求线段的长． 17．已知正方体，点为中点，直线交平面于点.    (1)证明：点为的中点； (2)若点为棱上一点，且直线与平面所成角的正弦值为，求的值. 18．在三棱柱中，平面平面，侧面为菱形，，，，E是AC的中点.    (1)求证：平面 (2)确定在线段上是否存在一点P，使得AP与平面所成角为，若存在，求出的值;若不存，说明理由. 19．如图，在四棱锥中，侧棱平面ABCD，底面四边形ABCD是矩形，，点M，N分别为棱PB，PD的中点，点E在棱AD上，.    (1)求证：直线平面BNE； (2)从下面①②两个条件中选取一个作为已知，证明另外一个成立. ①平面PAB与平面PCD的交线l与直线BE所成角的余弦值为； ②二面角的余弦值为. 注：若选择不同的组合分别作答，则按第一个解答计分. 20．在底面ABCD为梯形的多面体中.，BC⊥CD，，∠CBD＝45°，BC＝AE＝DE，且四边形BDEN为矩形．    (1)求证：BD⊥AE； (2)线段EN上是否存在点Q，使得直线BE与平面QAD所成的角为60°？若不存在，请说明理由．若存在，确定点Q的位置并加以证明． 21．如图1所示，在四边形中，，为上一点，，，将四边形沿折起，使得，得到如图2所示的四棱锥．      (1)若平面平面，证明：； (2)点是棱上一动点，且直线与平面所成角的正弦值为，求． 22．如图，是圆的直径，点是圆上异于，的点，平面，，，，分别为，的中点，平面与平面的交线为，在圆上.    (1)在图中作出交线（说明画法，不必证明），并求三棱锥的体积； (2)若点满足，且与平面所成角的正弦值为，求的值. 23．如图，已知直角梯形与，，，，AD⊥AB，，G是线段上一点. (1)平面⊥平面ABF (2)若平面⊥平面，设平面与平面所成角为，是否存在点G，使得，若存在确定G点位置；若不存在，请说明理由. 24．如图，在正方体中，E是棱上的点（点E与点C，不重合）．    (1)在图中作出平面与平面ABC