专题09 立体几何平行垂直的证明和定义法求空间中线与角的问题-2024年高考数学复习大题题型归纳与满分秘籍（新高考版）

专题09 立体几何平行垂直的证明和定义法求空间中线与角的问题 1．如图，在多面体中，平面 平面，底面是等腰直角三角形，，侧面是正方形，平面，且，.    (1)证明：． (2)若是的中点， 平面，求直线与平面所成角的正弦值． 2．如图，在三棱柱中，，.    (1)证明：； (2)若，，，点E为的中点，求三棱锥的体积. 3．《九章算术·商功》：“斜解立方，得两堑堵.斜解堑堵，其一为阳马，一为鳖臑.阳马居二，鳖臑居一，不易之率也.合两鳖臑三而一，验之以棊，其形露矣.”刘徽注：“此术臑者，背节也，或曰半阳马，其形有似鳖肘，故以名云.中破阳马，得两鳖臑，鳖臑之起数，数同而实据半，故云六而一即得.”      如图，在鳖臑ABCD中，侧棱AB⊥底面BCD；    (1)若，，，试求异面直线AC与BD所成角的余弦值. (2)若，，点P在棱AC上运动.试求面积的最小值. 4．如图，在四棱锥中，四边形是正方形，，平面，点是棱的中点，点是棱上的一点，且．    (1)求证：平面； (2)求点到平面的距离． 5．如图所示的几何体中，四边形为平行四边形，，，，四边形为正方形，平面平面，为的中点，，垂足为．    (1)求证：平面； (2)求异面直线与所成角的正切值； (3)求三棱锥的体积． 6．如图，在四棱锥中，，底面是边长为2的菱形.    (1)证明：平面平面； (2)若，且，求四棱锥的体积 7．如图，在三棱柱中，侧面为菱形，.          (1)证明：平面平面； (2)求二面角的余弦值. 8．如图，在直三棱柱中，，且为的中点，为线段上一点，设.    (1)当时，求证： 平面. (2)当三棱锥的体积为时，求的值. 9．如图，四棱柱的侧棱⊥底面ABCD，四边形ABCD为菱形，E，F分别为，的中点.    (1)证明：四点共面； (2)若，求点A到平面的距离. 10．如图所示，已知三棱台中，，，，，.    (1)求二面角的余弦值； (2)设分别是棱的中点，若平面，求棱台的体积. 参考公式：台体的体积公式为. 11．如图，在四棱锥中，是边长为的正三角形，，，，，，，分别是线段，的中点. (1)求证：平面； (2)求四棱锥的体积. 12．如图所示，在直四棱柱中，，，且是的中点.    (1)证明：； (2)若，求四棱柱的体积. 13．在四棱锥中，为等边三角形，，，点E为的中点．    (1)证明：平面； (2)已知平面⊥平面，求三棱锥的体积． 14．如图，平面多边形，，，，，将沿着翻折得到四棱锥，使得，、分别是、的中点．    (1)证明：平面； (2)求点到平面的距离． 15．如图，矩形所在的平面与平面垂直，且.已知.    (1)求证：； (2)求四棱锥的表面积. 16．已知四棱锥的底面是正方形，，是棱上任一点．    (1)求证：平面平面； (2)若，求点到平面的距离． 17．在三棱锥中，，平面平面，且.    (1)证明：； (2)若是直线上的一个动点，求直线与平面所成的角的正切值最大值. 18．如图，在四棱锥中，平面平面，底面为菱形，为等边三角形，且，，为的中点．    (1)若为线段上动点，证明：； (2)求点与平面的距离． 19．如图，在多面体中，四边形与均为直角梯形，，平面，，，G在上，且． (1)求证：平面； (2)若与所成的角为，求多面体的体积． 20．如图1，、、分别是边长为的正方形的三边、、的中点，先沿着虚线段将等腰直角三角形裁掉，再将剩下的五边形沿着线段折起，连接、就得到了一个空间五面体，如图2． (1)若是四边形对角线的交点，求证：平面； (2)若，求三棱锥的体积． 21．如图，在梯形中，，，，四边形为矩形， 平面平面，.    (1)求证：平面； (2)求二面角的平面角的余弦值； (3)若点在线段上运动，设平面与平面所成二面角的平面角为，试求的范围. 22．直四棱柱，，AB⊥AD，AB＝2，AD＝3，DC＝4    (1)求证：； (2)若四棱柱体积为36，求二面角的大小. 23．如图；在直三棱柱中，，，，点D为AB的中点．    (1)求证； (2)求三棱锥的体积． 24．如图，在正四棱台中，，，，为棱，的中点，棱上存在一点，使得平面．    (1)求； (2)当正四棱台的体积最大时，证明：平面． 25．已知圆锥的顶点为S，底面圆心为O，半径为2，母线SA､SB的长为，且M为线段AB的中点．    (1)证明：平面SOM平面SAB； (2)求直线SM与平面SOA所成角的大小． 26．如图，在三棱锥中，，，，，平面平面． (1)求证：； (2)求的长度； (3)求二面角的大小． 27．在图1中，为等腰直角三角形，，，为等边三角形，为AC边的中点，E在BC边上，且，沿AC将进行折叠，使点D运动到点F的位置，