第11讲 解三角形中的相关定理公式综合（高阶拓展，8类核心考点精讲精练）-备战2024年高考数学一轮复习考点帮（新教材新高考）

第11讲 解三角形中的相关定理公式综合 （高阶拓展）（核心考点精讲精练） 命题规律及备考策略 【命题规律】本节内容是新高考卷的常考内容，设题稳定，难度中等，分值为10-12分 【备考策略】1.掌握正余弦定理在三角形中的应用、熟练掌握面积公式的应用 2能熟练掌握解三角形中的相关定理公式进行综合应用 【命题预测】本节内容是在新高考卷的命题考查为解答题，常考查相关定理公式综合，需备考综合复习 知识讲解 1. 海伦-秦九韶公式 三角形的三边分别是a、b、c， 则三角形的面积为 其中，这个公式就是海伦公式，为古希腊的几何学家海伦所发现并证明。 我国南宋的秦九韶也曾提出利用三角形三边求三角形面积的秦九韶公式: 2. 三倍角公式 ， 3. 射影定理 ，， 4. 角平分线定理 （1）在中，为的角平分线，则有 （2） （3）（库斯顿定理） （4） 5. 张角定理 6. 倍角定理 在中,三个内角的对边分别为, (1)如果,则有: (2)如果,则有: (3)如果,则有: 倍角定理的逆运用 在中,三个内角A、B、C的对边分别为, (1)如果,则有:。 (2)如果,则有:。 (3)如果,则有:。 7. 中线长定理 为的中线,则中线定理: 证明: 在和中,用余弦定理有: 8. 三角恒等式 在中， ①； ②； ③； ④； ⑤； ⑥； ⑦； ⑧； ⑨； ⑩。 考点一、海伦-秦九韶公式及其应用 1．（2023·全国·高三专题练习）若一个三角形的三边长分别为a，b，c，设，则该三角形的面积，这就是著名的“海伦-秦九韶公式”若的三边长分别为5，6，7，则该三角形的面积为 ． 2．（2023·重庆·统考模拟预测）我国南宋著名数学家秦九韶提出了由三角形三边求三角形面积的“三斜求积”，设的三个内角所对的边分别为，，，面积为S，则“三斜求积”公式为，若，，则用“三斜求积”公式求得的面积为（    ） A． B． C． D．1 3．（2023·全国·高三专题练习）三角形的三边分别为a，b，c，秦九韶公式和海伦公式，其中，是等价的，都是用来求三角形的面积．印度数学家婆罗摩笈多在公元7世纪的一部论及天文的著作中，给出若四边形的四边分别为a，b，c，d，则，其中，为一组对角和的一半.已知四边形四条边长分别为3，4，5，6，则四边形最大面积为（　　） A．21 B． C． D． 1．（2023·全国·高三专题练习）我国南宋著名数学家秦九韶提出了由三角形三边求三角形面积的“三斜求积”公式，设的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，面积为S，“三斜求积”公式表示为.在中，若，，则用“三斜求积”公式求得的面积为（    ） A． B． C． D． 2．（2023·云南昆明·昆明一中校考模拟预测）南宋数学家秦九韶提出了“三斜求积术”，即已知三角形三边长求三角形面积的公式：设三角形的三条边长分别为、、，则面积可由公式求得，其中为三角形周长的一半，这个公式也被称为海伦—秦九韶公式．现有一个三角形的边长满足，，则此三角形面积的最大值为（    ） A． B． C． D． 3．（2023·浙江·永嘉中学校联考模拟预测）我国南宋时期著名的数学家秦九韶在其著作《数书九章》中，提出了已知三角形三边长求三角形面积的公式.在中，设分别为的内角的对边，S表示的面积，其公式为.若，，，则 . 考点二、三倍角公式及其应用 1．（2023·全国·高三专题练习）已知的内角，，的对边分别为，，．若，且为锐角，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 1. 已知的内角的对边分别为,若,则的最小值为 A.-1 B. C.3 D. 考点三、射影定理及其应用 1．（2023·上海浦东新·统考二模）在△ABC中，角A、B、C的对边分别记为a、b、c，若，则 ． 1．（2023·河南商丘·商丘市实验中学校联考模拟预测）已知在中，角的对边分别为，且满足，，则的面积为 . 考点四、角平分线定理及其应用 1．（2023·全国·高三专题练习）△中，边内上有一点，证明：是的角平分线的充要条件是． 2．（2023春·宁夏银川·高三校考阶段练习）在中，角A的角平分线交于点D，且，则等于（    ） A． B． C． D． 3．（2023春·湖北·高一赤壁一中校联考阶段练习）在中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若，，，则角A的角平分线 .    4．（2023春·安徽滁州·高一统考期末）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知. (1)求角A的大小； (2)若，，AD是△ABC的角平分线，求AD的长. 1．（2023·全国·统考高考真题）在中，，的角平