利用导数研究函数的单调性 解题模型与方法-2024届高三数学一轮复习

利用导数研究函数的单调性高中数学解题模型与方法 命题人：中学考试命题与预测组 【解题模型与方法】 1、导数和函数的单调性的关系： (1)若f(x)>0在(a,b)上恒成立，则f(x)在(a,b)上是增函数，f(x)>0的解集与 定义域的交集的对应区间为增区间； (2)若(x)<0在(a,b)上恒成立，则f(x)在(a,b)上是减函数，(x)<0的解集与 定义域的交集的对应区间为减区间 2、利用导数求解多项式函数单调性的一般步骤： (1)确定f(x)的定义域： (2)计算导数P(x): (3)求出f(x)=0的根： (4)用(x)=0的根将f(x)的定义域分成若干个区间，列表考察这若干个区间内P(x)的 符号，进而确定f(x)的单调区间：f(x)>0,则f(x)在对应区间上是增函数，对应区间为增 区间：(x)<O,则f(x)在对应区间上是减函数，对应区间为减区间， 【典型例题分析】 典例1：已知函数f(x)的定义域为R,f(-1)=2,对任意xER,F(x)>2,则f(x)> 2+4的解集为() A.(-1,1)B.(-1,+o)C.(-∞，-1)D.(-o,+∞) 解：f(x)>2x+4, 即f(x)-2x-4>0, 设g(x)=∫(x)-2x-4, 则g'(x)=f(x)-2, ,对任意xER,(x)>2, .对任意xER,g'(x)>0, 即函数g(x)单调递增， f(-1)=2, *g(-1)=f(-1)+2-4=4-4=0, 则由g(x)>g(-1)=0得 x>-1, 即f(x)>2+4的解集为(-1，+∞)， 故选：B 典例2：已知函数f(x)=alm--3(aER), (I)求函数f(x)的单调区间： (Ⅱ)若函数y=∫(x)的图象在点(2，∫(2)处的切线的倾斜角为45°，对于任意的E[1,2], 函数g(x)=x3+x2['(x)+号]在区间(3)上总不是单调函数，求m的取值范国： c求证：罗×g×gx…×m<2,nE 3 4 解：(1)f(x)a1-(x>0)(2分) 当a>0时，f(x)的单调增区间为(0,1]，减区间为[1，+∞)： 当a<0时，f(x)的单调增区间为[1，+)，减区间为(0,1： 当a=0时，f(x)不是单调函数(4分) (）f(2)=受-1将a=2∫w）=2m+2x-3 g（x)=x3+号+2)x2-2 ∴g(x)=3x2+(m+4)x-2(6分) g(x)在区间(t,3)上总不是单调函数，且g'(0)=-2 g(t)<0 g(3)>0 (8分) 由题意知：对于任意的[1,2]，g'(t)<0恒成立， g'(1)<0 所以有： g(2)<0,32<m<-910分) 3 g(3)>0 (IⅢ)令a=-1此时f(x)=-+x-3,所以f(1)=-2, 由(I)知f(x)=-1+x-3在(1，+∞)上单调递增， .当xe(1,+∞)时f(x)>f(1),即-m+x-1>0, .<x-1对一切xE(1,+∞)成立，(12分) :n≥2，neN*,则有0<ln<n-1, ∴0<lnm<n-1 n n ..In2.In3.In4..Im<123..n11 (n>2.ne N') 234n234nn 【解题方法点拨】 若在某区间上有有限个点使(x)=0,在其余的点恒有(x)>0,则∫(x)仍为增函数（减 函数的情形完全类似).即在区间内产(x)>0是f(x)在此区间上为增函数的充分条件，而不是 必要条件. 常考典型题同步检测 考试范围：导数：考试时间：120分钟 一.选择题（共8小题） 1.函数y号x2-1x的单调递减区间为（） A.(-1,1) B.(0,1) C.[1,+o) D.[0,+∞） 2.函数y=-x4+2x2+1的图象大致为() c= 4(c> 3.已期a1n2a号(a>》b1nr号>》 4,则() A.a<b<c B.c<b<a C.b<a<c D.a<c<b 4.已知实数x,y满足er=ye,y>1,则下列不等式一定成立的是() A.+y<2 B.y>x C.y<x+l D.xy<e2 2 、b2,c1,则a,b,c的大小关系为() 5设a2,b e A.c<b<a B.b<a<c C.a<c<b D.a<b<c 6.已知了)=2m,g(x):合tx2+2tx,R.则下列说法正确的是（） A.当1<m2-1时，函数f(x)的图象和函数g(x)的图象有两个公共点 B.当1m2-1<t<0时，函数f(x)的图象和函数g(x)的图象只有一个公共点 C。当tK号或≥0时，函数了)的图象和函数g)的图象没有公共点 D.当号<t<12-1时，函数了6)的图象和函数8)的图象只有一个公共点 7.已知日=1,6=W3,1),向量a与6的夹角为亚 ,若对任意x1,x2E(m,+∞)，当x <时，