精品解析：北京市海淀区清华大学附属中学2022-2023学年高二上学期期中考试数学试题

2022-2023学年北京市清华附中高二（上）期中数学试卷 一、选择题共10小题，每小题4分，共40分，在每小题列出的四个选项中，选出符合题意的选项. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知为等差数列，首项，公差，若，则（ ） A 1 B. 2 C. 3 D. 4 3. 若两条直线ax+2y﹣1=0与x﹣2y﹣1=0垂直，则a的值为 A. 1 B. ﹣1 C. 4 D. ﹣4 4. 已知角的终边经过点，则（ ） A. B. C. D. 5. 过点作圆的切线，则切线方程为（ ） A. B. C. D. 或 6. 若奇函数，则（ ） A. B. C. D. 7. 设x，，则“”是“，”的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 8. 已知椭圆E：的左、右焦点分别为，，O为坐标原点，若以为直径的圆与椭圆E在第一象限交于点P，且是等边三角形，则椭圆E的离心率为（ ） A. B. C. D. 9. 已知M为所在平面内的一点，，且，则（ ） A 0 B. 1 C. D. 3 10. 某工厂产生的废气经过滤后排放，过滤过程中废气的污染物含量P（单位：）与时间t（单位：h）间的关系为，其中，k是正的常数．如果在前污染物减少，那么再过后污染物还剩余（ ） A. B. C. D. 二、填空题共5小题，每小题5分，共25分. 11. 已知均实数.若，则_________． 12. 已知椭圆的一个焦点为，则实数k的值为__________． 13. 若直线被圆C：截得的弦长为1，则______． 14. 在平面直角坐标系xOy中，定点，点B为曲线上的动点．则线段AB长度的最小值是______；若第一象限存在点C，使得为等腰直角三角形，且，则线段OC的最大值为______． 15. 无穷数列满足：，，其前n项和记为． 给出下列四个结论： ①； ②数列单调递增； ③设数列的前n项和为，则存在，使得； ④若，则当时，一定有． 其中，所有正确结论的序号是______． 三、解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程. 16. 已知函数的最小正周期为，且的图像经过点． （1）求和m的值； （2）若函数在区间内有且仅有1个零点，求a的取值范围． 17. 在锐角中，角，，的对边分别为，，，且． （1）求角A的大小； （2）若，，求的面积． 18. 已知椭圆M：，圆N：，直线l过椭圆M右焦点F且倾斜角为． （1）求直线l方程及椭圆M的焦距． （2）直线l交椭圆M于A、B两点，直线l交圆N于C、D两点，求． 19. 已知函数． （1）求曲线在点处的切线方程； （2）求函数的单调区间和极值； （3）若在上恒成立，求实数a的取值范围． 20. 已知椭圆E：过点，E离心率． （1）求椭圆的标准方程； （2）设点A、B为椭圆左右顶点，过点且不与x轴重合的直线l分别交E于C，D．直线分别交直线AC和BD于P，Q点，求证：． 21. 数列：，，…，满足：，，或1（，2，…，），对任意i，j，都存在s，t，使得，其中且两两不相等． （1）若，直接写出下列三个数列中所有符合题目条件的数列的序号： ①1，1，1，2，2，2；②1，1，1，1，2，2，2，2；③1，1，1，1，1，2，2，2，2 （2）记，若，证明：； （3）若，求n的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2022-2023学年北京市清华附中高二（上）期中数学试卷 一、选择题共10小题，每小题4分，共40分，在每小题列出的四个选项中，选出符合题意的选项. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先求，再求并集即可 【详解】易得，故 故选：A 2. 已知为等差数列，首项，公差，若，则（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】D 【解析】 【分析】首先求出通项公式，再代入得到方程，解得即可； 【详解】解：因为首项，公差，所以， 因为，所以，解得 故选：D 3. 若两条直线ax+2y﹣1=0与x﹣2y﹣1=0垂直，则a的值为 A. 1 B. ﹣1 C. 4 D. ﹣4 【答案】C 【解析】 【分析】 利用直线与直线垂直的性质直接求解． 【详解】因为两条直线与垂直， 所以， 解得． 故选：． 【点睛】本题考查实数值的求法，考查直线与直线垂直的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题． 4. 已知角的终边经过点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据角的终边所过的点求