利用导数研究函数的最值和极值 解题模型与方法-2024届高三数学一轮复习

利用导数研究函数的最值和极值一高中数学解题模型与方法 命题人：中学考试命题与预测组 【解题模型与方法】 1、用导数求函数的最值步骤： 由上面函数∫(x)的图象可以看出，只要把连续函数所有的极值与定义区间端点的函数值进行比较， 就可以得出函数的最值了， 设函数∫(x)在a,b]上连续，在(a,b)内可导，则求∫(x)在[a,b]上的最大值与最小值的步骤 如下： (1)求f(x)在(a,b)内的极值： (2)将f(x)的各极值与f(a)、f(b)比较得出函数f(x)在a,]上的最值. 2、利用导数研究函数的极值 1、极值的性质： (1)极值是一个局部概念，由定义知道，极值只是某个点的函数值与它附近点的函数值比较是最大 或最小，并不意味若它在函数的整个的定义域内最大或最小： (2)函数的极值不是唯一的，即一个函数在某区间上或定义域内极大值或极小值可以不止一个： (3)极大值与极小值之间无确定的大小关系，即一个函数的极大值未必大于极小值： (4)函数的极值点一定出现在区间的内部，区间的端点不能成为极值点，而使函数取得最大值、最 小值的点可能在区间的内部，也可能在区间的端点， 2、判别f(x0)是极大、极小值的方法： 若x满足f(xo)=0,且在o的两侧f(x)的导数异号，则xo是f(x)的极值点，f(xo)是极 值，并且如果f(x)在xo两侧满足“左正右负”，则xo是f(x)的极大值点，f(xo)是极大值： 如果子(x)在xo两侧满足“左负右正”，则x0是∫(x)的极小值点，∫(xo)是极小值. 3、求函数f(x)的极值的步骤： (1)确定函数的定义区间，求导数(x): (2)求方程(x)=0的根； (3)用函数的导数为0的点，顺次将函数的定义区间分成若干小开区间，并列成表格，检查(x) 在方程根左右的值的符号，如果左正右负，那么手(x)在这个根处取得极大值：如果左负右正，那 么f(x)在这个根处取得极小值：如果左右不改变符号即都为正或都为负，则∫(x)在这个根处无 极值 【解题方法点拨】 在理解极值概念时要注意以下几点： (1)按定义，极值点xo是区间[a,b]内部的点，不会是端点a,b(因为在端点不可导). (2)极值是一个局部性概念，只要在一个小领域内成立即可，要注意极值必须在区间内的连续点取 得，一个函数在定义域内可以有许多个极小值和极大值，在某一点的极小值也可能大于另一个点的 极大值，也就是说极大值与极小值没有必然的大小关系，即极大值不一定比极小值大，极小值不一 定比极大值小 (3)若∫(x)在(a,b)内有极值，那么f(x)在(a,b)内绝不是单调函数，即在区间上单调的 函数没有极值， (4)若函数f(x)在[α，b]上有极值且连续，则它的极值点的分布是有规律的，相邻两个极大值点 之间必有一个极小值点，同样相邻两个极小值点之间必有一个极大值点，一般地，当函数f(x)[, b]上连续且有有 限个极值点时，函数f(x)在，b]内的极大值点、极小值点是交替出现的， (5)可导函数的极值点必须是导数为0的点，但导数为0的点不一定是极值点，不可导的点也可能 是极值点，也可能不是极值点。 常考试题同步检测 考试范围：导数：考试时间：120分钟 一.选择题（共8小题） 1.已函数f(x)=e-am(e为自然对数的底数)在区间(1,2)上单调递减() A.1 B.√e C.e D.2e2 2.已知函数f(x)导函数f(x)的图象如图所示，则() y /-20 3 x A,f(x)在(-∞，-2)上单调递增 B.f(x)在(0,3)上单调递减 C.f(x)在x=0处取得最大值 D.f(x)在x=-2处取得最小值 3.“<是“函数：(x)号-合x2+axn有极值”的(） A.充分必要条件 B,必要不充分条件 C.充分不必要条件 D.既不充分也不必要条件 4.“朗博变形”是借助指数运算或对数运算，将x化成x=bn,x=er(x>0)的变形技巧.己知 函数t(x)=xe×,g(x)=1区，若f1)=g()=>0,则1，的最大值为（) g t x2e A吉 B.1 C.1 D.e 5.己知3xe(0,+o),使得f(x)=+mr+n≥0成立，n为常数且m<0,则下列结论正确的是() A.mn≤0 B.n<-1 C.n-1≥lm(-m)D.+1≤1n(-m》 6.己知函数f(x)=x3+3x2+bx+c若函数g(x)=e“f(x)有三个极值点m,1,n,且m <1<n( A.(-∞，1) B.(-∞， C.(-∞，-1)D.(-∞，-2) 7.若对任意正实数x,y都有(2y-)(r-y)-Y≤0() m A.(0,1] B.(0,e] C.(-∞，0)U[1,+∞) D.(-∞，0)U[e,+∞) 8改函数f()x2-(a+1)x+2a,x<1,