第3章 习题课1 “函数与导数”问题常用的解题技能（课件PPT）-【新高考方案】2024高考数学（理科）一轮复习（老教材 新高考）

[方法技巧] 当题设条件中存在或通过变形出现特征式“f′(x)±g′(x)”时，不妨联想、逆用“f′(x)±g′(x)＝[f(x)±g(x)]′”．构造可导函数y＝f(x)±g(x)，然后利用该函数的性质巧妙地解决问题．　　 [例2]　设f(x)，g(x)分别是定义在R上的奇函数和偶函数，当x<0时，f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)>0，且g(－3)＝0，则不等式f(x)g(x)<0的解集为________． [解析]　借助导数的运算法则，f′(x)g(x)＋f(x)·g′(x)>0⇔[f(x)g(x)]′>0，所以函数y＝f(x)·g(x)在(－∞，0)上单调递增．又由题意知函数y＝f(x)g(x)为奇函数，所以其图象关于原点对称，且过点(－3,0)，(3,0)．数形结合可求得不等式f(x)g(x)<0的解集为(－∞，－3)∪(0,3)． [答案]　(－∞，－3)∪(0,3) [方法技巧] 当题设条件中存在或通过变形出现特征式“f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)”时，可联想、逆用“f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)＝[f(x)g(x)]′”，构造可导函数y＝f(x)g(x)，然后利用该函数的性质巧妙地解决问题．　　 [针对训练] 1．设定义在R上的函数f(x)满足f′(x)＋f(x)＝3x2e－x，且f(0)＝0，则下列结论正确的是 (　 ) A．f(x)在R上单调递减 B．f(x)在R上单调递增 C．f(x)在R上有最大值 ` D．f(x)在R上有最小值 2．设f′(x)是奇函数f(x)(x∈R)的导函数，f(－1)＝0，当x>0时，xf′(x)－f(x)<0，则使得f(x)>0成立的x的取值范围是________． 综合考法二　复合型函数问题——同构法解决 同构式指除了变量不同，其余地方均相同的表达式 同构式的应用 (1)在方程中的应用：如果方程f(a)＝0和f(b)＝0呈现同构特征，则a，b可视为方程f(x)＝0的两个根． (2)在不等式中的应用：如果不等式的两侧呈现同构特征，则可将相同的结构构造为一个函数，进而和函数的单调性找到联系．可比较大小或解不等式 同构法构造函数的策略 (1)指对各一边，参数是关键； (2)常用“母函数”：f(x)＝xex，f(x)＝ex±x；寻找“亲戚函数”是关键； (3)信手拈来凑同构，凑常数、x、参数； (4)复合函数(亲戚函数)比大小，利用单调性求参数范围 [针对训练] 若0<x1<x2<1，则 (　 ) 综合考法三　含参不等式问题——分离参数法解决 [典例]　已知函数f(x)＝x2＋4x＋2，h(x)＝2ex(x＋1)，当x≥－2时，f(x)≤kh(x)，求实数k的取值范围． ③当x＞－1时，k≥g(x)恒成立． 因为g(x)在(－1,0)上单调递增，在(0，＋∞)上单调递减， 所以g(x)max＝g(0)＝1，故k≥1. 综上，1≤k≤e2.即实数k的取值范围是[1，e2]． [方法技巧] 用直接法解决含参不等式求参数范围问题，时常需要分类讨论，计算量较大．而用分离参数法解决含参不等式问题时，比较直接，这也是学生首选的方法．　　　 [针对训练] 1．已知函数f(x)＝xln x，若对于所有x≥1都有f(x)≥ax－1，求实数a的取值范围． [例2]　已知函数f(x)＝ex－xln x，g(x)＝ex－tx2＋x，t∈R，其中e为自然对数的底数． (1)求函数f(x)的图象在点(1，f(1))处的切线方程； (2)若g(x)≥f(x)对任意的x∈(0，＋∞)恒成立，求t的取值范围． [解]　(1)由f(x)＝ex－xln x， 知f′(x)＝e－ln x－1，则f′(1)＝e－1，而f(1)＝e， 故所求切线方程为y－e＝(e－1)(x－1)， 即y＝(e－1)x＋1. [针对训练] 讨论函数f(x)＝(x＋1)ln x－x＋1的单调性． “课时验收评价”见“课时验收评价(十七)” (单击进入电子文档) 33 阶段综合·融会建模 习题课1——“函数与导数”问题常用的解题技能 综合考法一　抽象不等式问题——构造函数法解决 以抽象函数为背景，题设条件或所求结论中具有“f(x)±g(x)，f(x)g(x)，eq \f(fx,gx)”等特征式，旨在考查导数运算法则的逆向、变形应用能力的客观题，是近几年高考试卷中的一位“常客”，常以压轴题的形式出现，解答这类问题的有效策略是将式子的外形结构特征与导数运算法则结合起来，合理构造出相关的可导函数，然后利用该函数的性质解决问题． eq \a\vs4\al(类型一　构造y＝fx±gx型可导函数) [例1]　定义在R上的函数f(x)，满足f(1)＝1，且对任意x∈R都有f′(x)<eq \f(1,2)，则