二次求导研究函数的最值和极值 解题模型与方法 讲义-2024届高三数学一轮复习

高中数学解题模型与方法一二次求导研究函数的最值和极值 命题人：中学升学考试命题与预测组 【解题模型与方法】 一、利用导数研究函数的极值 【知识点透析】 1、极值的性质： (1)极值是一个局部概念，由定义知道，极值只是某个点的函数值与它附近点的函数值比较是最大 或最小，并不意味着它在函数的整个的定义域内最大或最小： (2)函数的极值不是唯一的，即一个函数在某区间上或定义域内极大值或极小值可以不止一个： (3)极大值与极小值之间无确定的大小关系，即一个函数的极大值未必大于极小值： (4)函数的极值点一定出现在区间的内部，区间的端点不能成为极值点，而使函数取得最大值、最 小值的点可能在区间的内部，也可能在区间的端点 2、判别f(0)是极大、极小值的方法： 若o满足f(xo)=0,且在的两侧f(x)的导数异号，则xo是f(x)的极值点，f(xo)是极 值，并且如果P(x)在o两侧满足“左正右负”，则xo是∫(x)的极大值点，∫(o)是极大值： 如果子(x)在xo两侧满足“左负右正”，则xo是f(x)的极小值点，f(xo)是极小值 3、求函数f(x)的极值的步骤： (1)确定函数的定义区间，求导数f(x): (2)求方程f(x)=0的根： (3)用函数的导数为0的点，顺次将函数的定义区间分成若干小开区间，并列成表格，检查子(x) 在方程根左右的值的符号，如果左正右负，那么∫(x)在这个根处取得极大值：如果左负右正，那 么f(x)在这个根处取得极小值：如果左右不改变符号即都为正或都为负，则f(x)在这个根处无 极值。 【解题模型与方法点拨】 在理解极值概念时要注意以下几点： (1)按定义，极值点xo是区间[a,]内部的点，不会是端点a,b(因为在端点不可导). (2)极值是一个局部性概念，只要在一个小领域内成立即可.要注意极值必须在区间内的连续点取 得，一个函数在定义域内可以有许多个极小值和极大值，在某一点的极小值也可能大于另一个点的 极大值，也就是说极大值与极小值没有必然的大小关系，即极大值不一定比极小值大，极小值不一 定比极大值小. (3)若f(x)在(a,b)内有极值，那么∫(x)在(a,b)内绝不是单调函数，即在区间上单调的 函数没有极值。 (4)若函数∫(x)在α，b]上有极值且连续，则它的极值点的分布是有规律的，相邻两个极大值点 之间必有一个极小值点，同样相邻两个极小值点之间必有一个极大值点，一般地，当函数f(x)在[， b]上连续且有有 限个极值点时，函数f(x)在a,b]内的极大值点、极小值点是交替出现的， (5)可导函数的极值点必须是导数为0的点，但导数为0的点不一定是极值点，不可导的点也可能 是极值点，也可能不是极值点。 二、利用导数研究函数的最值 【知识点透析】 1、函数的最大值和最小值 观察图中一个定义在闭区间[a,b]上的函数f(x)的图象.图中∫(1)与∫(x3)是极小值，∫(x2) 是极大值，函数f(x)在[a,]上的最大值是f(b),最小值是f(x1). 一般地，在闭区间[a,b]上连续的函数f(x)在[a,b]上必有最大值与最小值. 说明：(1)在开区间(a,b)内连续的函数∫(x)不一定有最大值与最小值.如函数f(x)=上在 (0,+∞)内连续，但没有最大值与最小值： (2)函数的最值是比较整个定义域内的函数值得出的：函数的极值是比较极值点附近函数值得出的 (3)函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，是f(x)在闭区间[a,b]上有最大值与最小值的充分条件 而非必要条件 (4)函数在其定义区间上的最大值、最小值最多各有一个，而函数的极值可能不止一个，也可能没 有一个 2、用导数求函数的最值步骤： 由上面函数f(x)的图象可以看出，只要把连续函数所有的极值与定义区间端点的函数值进行比较， 就可以得出函数的最值了， 设函数f(x)在a,b]上连续，在(a,b)内可导，则求f(x)在a,b]上的最大值与最小值的步骤 如下： (1)求f(x)在(a,b)内的极值： (2)将f(x)的各极值与f(a)、f(b)比较得出函数f(x)在[a,b]上的最值. 【解题模型与方法点拨】 在理解极值概念时要注意以下几点： (1)按定义，极值点xo是区间[a,b]内部的点，不会是端点a,b(因为在端点不可导). (2)极值是一个局部性概念，只要在一个小领域内成立即可.要注意极值必须在区间内的连续点取 得，一个函数在定义域内可以有许多个极小值和极大值，在某一点的极小值也可能大于另一个点的 极大值，也就是说极大值与极小值没有必然的大小关系，即极大值不一定比极小值大，极小值不一 定比极大值小 (3)若∫(x)在(a,b)内有极值，那么f(x)在(a,b)内绝不是单调函数，即在区间上单调的 函数没有极值， (4)若函数f(x)在[α