北京市育英学校2023-2024学年高三上学期统一练习（一） 数学试卷

育英学校2024届高三年级统一练习（一） 数 学2023.07 学校： 班级： 姓名： 成绩： 考 生 须 知 1. 本试卷共4页，共三道大题，21道小题，满分150分，考试时间120分钟。 2. 在试卷和答题纸上准确填写学校、班级、姓名。 3. 试题答案一律填涂或书写在答题纸上，在试卷上作答无效。 4. 考试结束，请将本试卷和答题纸一并交回。 第一部分 选择题（共40分） 一、选择题。（每小题4分，共40分） 1．已知集合，，且，则a可以是 A．-1　　　　 B．0　　　　 C．1　　　　 D．2 2．的展开式中的系数是 A．-210　　　　 B．-120　　　　 C．120　　　　 D．210 3．已知双曲线的一条渐近线的倾斜角为60°，且与椭圆有相等的焦距，则双曲线C的方程为 A．　 B． C．　 D． 4. 已知，则下列不等式正确的是 A．　　　 B． C．　　　　D． 5. 函数的零点个数为 A．0　　　　 B．1 C．2　　　　 D．4 6. 以抛物线C的顶点为圆心的圆交C于两点，交C的准线于两点．已知，，则C的焦点到准线的距离为 A．2　　　　 B．4　　　　 C．6　　　　 D．8 7. 已知i，j，k为共面的三个单位向量，且i⊥j，则(i+k)·(j+k)的取值范围是 A．　　　 B． C．　　 　 D． 8. 已知函数，则“函数的图象经过点”是“函数的图象经过点”的 A．充分而不必要条件　　　 　 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件　　　 　 D．既不充分也不必要条件 9. 设，随机变量ξ的分布列是 ξ 0 1 2 P 则当p在内增大时， A．减小　　　　 B．增大 C．先减小后增大　　　　 D．先增大后减小 10. 动点P从点A出发，按逆时针方向沿周长为l的平面图形运动一周，A，P两点间的距离y与动点P所走过的路程x的关系如图所示，则动点P所走的图形可能是　　　　　　 第二部分 非选择题（共110分） 二、填空题。（每小题5分，共25分） 11. 设是等差数列，且，，则数列的通项公式为　　　　　.  12. 已知不等式成立的充分不必要条件是，则实数m的取值范围是　　　　.  13. 椭圆与曲线关于直线对称，与分别在第一、二、三、四象限交于点．若四边形的面积为4，则点P1的坐标为　　　　，的离心率为　　　　.  14. 已知函数 ①当时，函数的零点个数为　　　　； ②如果函数恰有两个零点，那么实数的取值范围为　　　　　　　　.  15. 已知函数，下列命题正确的有　　　　（写出所有正确命题的编号）.  ①是奇函数； ②在R上是增函数； ③方程有且仅有1个实数根； ④如果对任意，都有，那么k的最大值为2. 三、简答题。（共85分） 16.（13分）如图，四棱锥的底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，PA=AD=2，BD=. （1）求证：BD⊥平面PAC； （2）求二面角的大小； （3）求点C到平面PBD的距离. 17.（13分）已知函数，且. （1）求a的值及的最小正周期； （2）若在区间上单调递增，求m的最大值. 18.（14分）某学校为了解学生的体质健康状况，对高一、高二两个年级的学生进行体质健康测试．现从两个年级学生中各随机抽取20人，将他们的测试数据用茎叶图表示如： 《国家学生体质健康标准》的等级标准如下表．规定：测试数据≥60，体质健康为合格． 等级 优秀 良好 及格 不及格 测试数据 [90,100] [80,89] [60,79] [0,59] （1）从该校高二年级学生中随机抽取一名学生，试估计这名学生体质健康合格的概率； （2）从两个年级等级为优秀的样本中各随机选取一名学生，求选取的两名学生的测试数据平均数大于95的概率； （3）设该校高一学生测试数据的平均数和方差分别为，高二学生测试数据的平均数和方差分别为，试比较与、与的大小．（只需写出结论） 19.（15分）已知椭圆的离心率为，以椭圆C的任意三个顶点为顶点的三角形的面积是. （1）求椭圆C的方程； （2）设A是椭圆C的右顶点，点B在x轴上．若椭圆C上存在点P，使得∠APB=90°，求点B横坐标的取值范围. 20.（15分）已知函数. （1）求曲线的斜率为1的切线方程； （2）当时，求证：； （3）设，记在区间上的最大值为．当最小时，求a的值. 21.（15分）给定数列，若满足a1=a(a>0且a≠1)，对于任意的n,m∈N*，都有an+m=anam，则称数列为“指数型数列”. （1）已知数列的通项公式分别为，试判断数列是不是“指数型数列”； （2）