第33讲 曲线与方程讲义-2024届陕西省高三理科数学一轮复习

第33讲曲线与方程 一.基础知识回顾 1.曲线与方程 (1)曲线的方程与方程的曲线：在直角坐标系中，如果某曲线C(看作点的集合或适合某种条 件的点的轨迹)上的点与一个二元方程f孔x,y)=0的实数解建立了如下的关系：①」 都 是这个方程的一②以这个方程的解为坐标的点都是 那么，这个方程叫做曲 线的方程，这条曲线叫做方程的曲线 (2)平面解析几何研究的两个主要问题：①根据已知条件，求出表示平面曲线的方程：② 通过曲线的方程研究曲线的性质， (3)求曲线方程的一般方法（五步法）：求曲线（图形）的方程，一般有下面几个步骤：①建 立适当的坐标系.用有序实数对(x,y)表示 :②写出适合条件p的点M 的集合P= :③用坐标表示条件p(M),列出方程f(x,y)=0:④化方程fx,y) =0为 ：⑤说明以化简后的方程的解为坐标的点都在 (4)求轨迹方程的一般方法： ①.直译法：如果动点P的运动规律是否合乎我们熟知的某些曲线的定义难以判断，但点P 满足的等量关系易干建立，则可以先表示出点P所满足的几何上的等量关系，再用点P的 坐标x,y)表示该等量关系式，即可得到轨迹方程 ②定义法：如果动点P的运动规律合乎我们已知的某种曲线（如圆、椭圆、双曲线、抛物 线)的定义，则可先设出轨迹方程，再根据已知条件，待定方程中的常数.即可得到轨迹 方程： ③参数法：如果采用值泽法求轨迹方程难以奏效.则可寻求引发动点P运动的某个几何量 t,以此量作为参变数.分别建立P点坐标x,y与该参数t的函数关系x=f1,y=gt, 进而通过消参化为轨迹的普通方程F(x,y)=0 ④代入法（相关点法）：如果动点P的运动是由另外某一点P的运动引发的.而该点的运 动规律已知，（该点坐标满足某已知曲线方程），则可以设出P(x,y),用(x,y)表示出相 关点P'的坐标.然后把P的坐标代入已知曲线方程，即可得到动点P的轨迹方程。 ⑤交轨法：在求动点轨迹时.有时会出现要求两动曲线交点的轨迹问题，这种问题通常通 过解方程组得出交点（含参数）的坐标，再消去参数求得所求的轨迹方程（若能直接消去 两方程的参数.也可直接消去参数得到轨九迹方程)，该法经常与参数法并用 2.直线与圆锥曲线的位置关系 (1)直线与椭圆的位置关系的判定方法：①将直线方程与椭圆方程联立，消去一个未知数， 得到一个一元二次方程，若△>0.则值线与椭圆一；若△=0，则直线与椭圆一：若 △<0，则值线与椭圆 ②直线与双曲线的位置关系的判定方法：将直线方程与双曲线方程联立消去y(或)，得到 一个一元方程ax2+bx+c=0.①若a≠0.当△>0时，直线与双曲线：当△=0时. 直线与双曲线 :当△<0时.直线与双曲线 ②若a=0时.直线与渐近线平 行，与双曲线有交点. ③直线与抛物线位置关系的判定方法：搿直线方程与抛物线方程联立，消去y(或x),得到 一个一元方程ax2+bx十c=0.①当a≠0，用△判定，方法同上.②当a=0时.直线与抛 物线的对称轴， ,只有交点 3.弦长问题弦长公式：直线/：y=kx+b与圆锥曲线C:F(x,y)=0交于A(x1,y),B (x2,y2)两点.则AB=1+k2x1-X2= 或AB1=1k2)》 y1-y21= 。典例精析 题型一：直接法求轨迹方程 例1：动点P与两定点A(a,0).B(一a,0)连线的斜率的乘积为k,试求点P的轨迹方程， 并讨论轨迹是什么曲线 变式迁移1：已知两点M-2,0)、N(2,01.点P为坐标平面内的动点.满足‖1+. →=0.则动点P(x,y)的轨迹方程为 题型二：定义法求轨迹方程 例2：已知两个定圆01和02，它们的半径分别是1和2.且|O1O2=4.动圆M与圆O1 内切，又与圆O2外切.建立适当的坐标系.求动圆圆心M的轨迹方程，并说明轨迹是何 种曲线. 变式训练2：一动圆与已知圆O1:(x+3)2+y2=1外切.与圆O2:(x-3)2+y2=81内 切.试求动圆圆心的轨迹方程 题型三：相关点法（代入法）求轨迹方程 例3：如图所示，从双曲线x2-y2=1上一点Q引直线x+y=2的垂线.垂足为N.求线 段QN的中点P的轨迹方程， y x+y=2M 变式训练3：已知长为1十2的线段AB的两个端点A、B分别在x轴、y轴上滑动.P是 AB上一点.且=2)2.求点P的轨迹C的方程. 题型四：直线与圆锥曲线的位置关系 例4：k为何值时，直线y=kx+2和曲线2x2+3y2=6有两个公共点？有一个公共点？ 没有公共点？ 变式迁移4：已知抛物线C的方程为x2=12y.过A(0.-一1).B(t,3)两点的直线与抛物 线C没有公共点，求实数t的取值范围 题型五：圆锥曲线中的弦长问题 例5：如图所示，直线y=kx+b与椭圆x24+y2=1交干A、B两点.记△AOB的面积 为S. (