第32讲 抛物线与抛物线的方程讲义-2024届陕西省高三理科数学一轮复习

第32讲抛物线的标准方程及其性质 一，基础知识整合 1. 抛物线的概念：平面内与一个定点F和一条定直线(F)距离的点的轨迹叫做抛物 线点F叫做抛物线的」 直线/叫做抛物线的 2.抛物线的标准方程及其性质 y2= 2px y2=-2px x2=2py x2=-2py 标准方程 (p>0) (p>0) (p>0) (p>0) p的几何意义： 图形 顶点 对称轴 焦点 F() F( F() F( 离心率 e=1 准线方程 X= X= y= y=_ 范围 x≥一ye x≤一yE y2一X∈ y≤一x∈】 开口方向 3.与焦点弦有关的常用结论（以图为依据）设A(x1,y1),B(x2,y2). (1)y1y2=-p2,x1x2=p24. (2)1AB|=x1十x2十p=2psin28(8为直线AB的倾斜角) (3)11AF1+1|BF|为定值2P. (4)以AB为直径的圆与准线相切. (5)以AF或BF为直径的圆与y轴相切.(6)过焦点垂直干对称轴的 弦长等干2p(通径). 二. 典例精析 题型一：抛物线的定义及应用 例1：(1)已知抛物线C:y2=8x的焦点为F,准线为/，P是I上一点.Q是直线PF与C 的一个交点，若=4，则QF川= (2)已知直线1：4x-3y+6=0和直线2：x=-1,则抛物线y2=4x上一动点P到直线 1和值线2的距离之和的最小值是 变式训练1：(1)设经过抛物线C的焦点的直线/与抛物线C交干A、B两点，那么抛物线 C的准线与以AB为直径的圆的位置关系为 (2)已知点P是抛物线y2=2x上的动点，点P到准线的距离为d,且点P在y轴上的射影 是M.点A(72.4).则PA+|PM的最小值是 题型二：抛物线的标准方程及性质（高频考点） 例2：(1)抛物线y2=2Px(p>0)的焦点为F,O为坐标原点，M为抛物线上一点，且 MF1=4OF1.△MF0的面积为43.则抛物线方程为 (2)已知双曲线x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的两条渐近线与抛物线y2=2px(p>0)分别 交干O.A,B三点，O为坐标原点.若双曲线的离心率为2，△AOB的面积为3，则p= (3)已知Rt△AOB的三个顶点都在抛物线y2=2px上.其中直角顶点O为原点，OA所 在直线的方程为y=3x,△AOB的面积为63.则该抛物线的方程 变式训练2：(1)设抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,点M在C上，MF=5.若以 MF为直径的圆过点(0,2).则C的方程为 (2)抛物线的顶点在原点，对称轴为y轴，它与圆x2+y2=9相交，公 共弦MW的长为25，则抛物线的方程为 (3)如图.已知抛物线y2=2px(p>0)有一个内接直角三角：形.直 角顶点在原点，两直角边OA与OB的长分别为1和8.则抛物线方 程为」 题型三：抛物线的几何性质 例3：过抛物线y2=2Px的焦点F的直线和抛物线相交干A,B两点，如图所示. (1)若A,B的纵坐标分别为y1,y2,求证：yy2=一P2: (2)若直线AO与抛物线的准线相交干点C,求证：BC‖x轴. 变式训练3：已知AB是抛物线y2=2px(p>0)的焦点弦.F为抛物线的焦点.A(x1.y1), B(x2,y2.求证：(1)x1x2=p24:(2)1AF|+1BF|为定值. 题型四：抛物线的综合问题 例4：已知定点F(0,1)和直线/h:y=一1，过定点F与直线1相切的动圆圆心为点C (1)求动点C的轨迹方程： y (2过点F的直线h交轨迹C干两点P、Q.交直线h干点R.求.一的 o/ 最小值 变式训练4：已知抛物线C:y2=2px(p>0)过点A(1,一2). (1)求抛物线C的方程，并求其准线方程： (2)是否存在平行干OA(O为坐标原点)的直线1，使得直线/与抛物线C有公共点，且直线 OA与1的距离等干5)5？若存在，求出直线/的方程：若不存在.请说明理由。 三.方法规律总结 1.顶点在原点.对称轴为坐标轴的抛物线可设为y2=2ax或x2=2ay(a≠0).此时a不 具有p的几何意义 2.抛物线的定义体现了抛物线上的点到焦点的距离与该点到准线距离的关系，因此涉及抛 物线上的点与焦点之间的距离可转化为点到准线之间的距离，这样可使问题简单化 3.对干抛物线的四种形式的标准方程，应准确把握、熟练应用，能做出图形.会利用图形 分析性质，学习时应能根据一种类型归纳出另外三种的相关性质，注意数形结合思想的应用. 4.抛物线只有一个焦点，一个顶点，一条对称轴。一条准线无对称中心 5.抛物线上一点与焦点F的连线的线段叫做焦半径，设抛物线y2=2px(P>0)上任一点A (xo,yo),则AF=Xo+p2 6.抛物线的顶点也在抛物线上，作为抛物线上的一个特殊点.它到焦点的距离也等干到准 线的距离。解题时注意应用