第31讲 双曲线与双曲线的方程讲义-2024届陕西省高三理科数学一轮复习

第31讲双曲线的方程及其性质 一。基础知识整合 1.双曲线的概念：平面内动点P与两个定点F1、F(FF=2c>O)的距离 为常数 2a(0<2a<2c,则点P的轨迹叫双曲线.这两个定点叫双曲线的 ,两焦点间的距离 叫·集合P=MMF-MF=2a},FF2=2c,其中a、c为常数且a>0,c>0: (1)当 时，P点的轨迹是双曲线：(2)当」 时，P点的轨迹是两条射线：(3) 时，P点不存在. 2.双曲线的标准方程和几何性质 标准方程 x2a2-y2b2=1 y2a2-x2b2=1 (a>0,b>0) (a>0,b>0) 图形 范围 对称 性 对称轴： 对称中心： 顶点 A1( ),A2( A( ),A2 性 渐近 质 线 离心 率 e= ,e目 其中c= 实虚 线段A142叫做双曲线的 它的长A14=；线段 轴 BB2叫做双曲线的 它的长B,B2= :a叫明 做双曲线的半实轴长，b叫做双曲线的半虚轴长 a、b、c的 c2= (c>a>0,c>b>0 关系 3.实轴长和虚轴长相等的双曲线为 其渐近线方程为，离心率为e=一， 4.双曲线中的几个常用结论 (1)双曲线的焦点到其渐近线的距离为b. (2)若P是双曲线右支上一点，F1,F2分别为双曲线的左、右焦点，则P平lin=a十c, PF2lnin=c-a. (3)同支的焦点弦中最短的为通径（过焦点且垂直于长轴的弦），其长为2b2,异支的弦中最 短的为实轴，其长为2a. (4)巧设双曲线方程 ①与双曲线x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)有共同渐近线的方程可表示为x2a2-y2b2=t(t≠0). ②过已知两个点的双曲线方程可设为mx2+y2=1(mm<0). 二.典例精析 题型一：双曲线定义的应用 例1：(1)已知双曲线的方程是x216-y28=1,点P在双曲线上如图，且到其中一个焦点 F的距离为10，点N是PP的中点，则|OW=(0为坐标原点). (2)已知双曲线C的离心率为2，焦点为F1、F2,点A在C上，若F4=2F24,则cos∠ AFF= (3)如图P是双曲线x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)右支上一点，F1,F2分别为左、右 焦点，且焦距为2c,则△PFF的内切圆圆心M的横坐标是 变式训练1：(1)已知△4BP的顶点A,B分别为双曲线x216一y29=1的左，右焦点， 顶点P在双曲线上，则|smA一sin B sin P=」 (②)已知双曲线x2-y2=1,点F1,F2为其两个焦点，点P为双曲线上一点，若PF1⊥PF2, 则PF+PF的值为 (3)已知圆C1:(x+3)2+y2=1和圆C:(x一3)2+y2=9,动圆M同时与圆C及圆C相外 切，则动圆圆心M的轨迹方程为 题型二：求双曲线的标准方程 例2：根据下列条件，求双曲线的标准方程 (1)过点P(3,154),Q(-163,5)且焦点在坐标轴上.(2)c=6,经过点(-5,2)，焦点在x 轴上，(3)双曲线的一条渐近线方程是x一2y=0,且过点P(4,3) 变式训练2：求适合下列条件的双曲线的标准方程： (1)a=4,经过点A(1,10)3)；(2)焦点在y轴上，且过点(3，一42)，(94,5). (3)求与双曲线x29一y216=1有共同的渐近线，且过点（一3,23）的双曲线方程. 题型三：双曲线的几何性质（高频考点） 高考对双曲线的几何性质的考查主要有以下四个命题角度：()求双曲线的离心率（或范围： (2)求双曲线的渐近线方程：(3)求双曲线方程；(4)求双曲线的焦点（距）、实、虚轴长， 例3：(1)己知双曲线22-y2=k的焦距为6，则 (2)若方程x2k|一1+y2k十4=1表示双曲线，则k的取值范围为 (3)已知a>b>0,椭圆C1的方程为x2a2十2b2=1,双曲线C2的方程为x2a2-2b2=1,C1 与C2的离心率之积为3)2，则C2的渐近线方程为」 变式训练3.(1)已知双曲线C:x2m一y24一n=1的离心率为3，则C的渐近线方程为 (2)已知双曲线x2一y2=4左支上一点P(a,b)到直线y=x的距离为2，则a+b= (3)己知F1,F2是双曲线x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点，过F1且垂直于x轴的 直线与双曲线的左支交于A、B两点，若△4BF,是正三角形，那么双曲线的离心率为 题型四：双曲线的离心率问题 例4：设双曲线的一个焦点为F,虚轴的一个端点为B,如果直线FB与该双曲线的一条渐 近线垂直，求双曲线的离心率。 变式训练4：已知F1,F2是双曲线x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的两个焦点，PQ是经过F 且垂直于x轴的双曲线的弦，如果∠P℉Q=90”,求双曲线的离心率. 题型五：双曲线方程的综合问题 例5：已知双曲线x2a2-y2b2=1(a>0,b