第30讲 椭圆与椭圆方程讲义-2024届陕西省高三理科数学一轮复习

第30讲椭圆方程及其性质 一。基础知识整合 1.椭圆的概念在平面内与两定点F、F2的 等于（大于FF,D的点的轨迹叫做椭 圆.这两个定点叫做椭圆的，两焦点间的距离叫做椭圆的 集合P=MMF+ MF=2a},FF2=2c,其中a>0,c>0,且a,c为常数：(1)若 ,则集合P为椭圆： (2)若 则集合P为线段：(3)若」 ,则集合P为空集 2.椭圆的标准方程和几何性质 标准方程 x2a2+y2b2=1(a>b>0) y2a2+x2b2= 1(a>b>0) 图形 x≤ 大 范围 ≤v≤ ≤v 对称性 对称轴： 对称中心：( 性 顶点 A( ),A2( A1( ),A2( Bi( ),B( B1( ),B( 质 轴 长轴442的长为 短轴BB2的长为 焦距 FF= 离心率 e= ，e目 a,b,c的 关系 c2= 3.椭圆焦点三角形的一些结论：已知F1、F2是椭圆C:x2a2十y2b2=1(a>b>0)的两个焦点， P为椭圆C上的一点，把△PF,F2称为焦点三角形，则(1)PF+PF=2a；(2)》 FF=2c:(3)Cf:=2a+2c: (④若直线PF,交椭圆与另一个点Q,则三角形PQR的周长Caor,=4a (5)若∠FPF2=0,则①EE,=PE+PF,2-2PFPF,cos0: 0 ②SNs=btan2 (6)PFPF≤a22.椭圆方程的求法：待定系数法 4.椭圆中常用结论 (1)点P(o,a)和椭圆的位置关系：①点P(x,a>在椭圆内一20xa2+20yb2<1;②点P (o,ya>在椭圆上~20xa2+20yb2=1;③点P(x,ya)在椭圆外e20xa2+20yb2>1. (2)椭圆上的点到焦点距离的最大值为a+c,最小值为a一c. (3)过椭圆的焦点且垂直于长轴的弦长为22a. 二.典例精析 题型一：椭圆的定义及标准方程 例1：(1)已知中心在原点的椭圆C的右焦点为F(15,0),直线y=x与椭圆的一个交点的横 坐标为2，则椭圆方程为 (2)已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点为F1、F2,离心率为3)3，过F2的直线 1交C于A、B两点，若△4FB的周长为43，则C的方程为 (3)在平面直角坐标系中，A(4,0),B(-4,0),且sinA+sin Bsin C=54,则△ABC的 顶点C的轨迹方程为 变式训练1：(1)已知椭圆的中心在原点，以坐标轴为对称轴，且经过两点P1(6,1),P(一3， 一2)，则椭圆的方程为 (2)己知F,F2是椭圆C:x2a2十y2b2=1(a>b>0的两个焦点，P为椭圆C上的一点，且⊥ 一若△PFB的面积为9，则b (3)一动圆与已知圆0：(x+3)2+y2=1外切，与圆0：(x一3)2+y2=81内切，则动圆 圆心的轨迹方程为 题型二：椭圆的几何性质（高频考点） 例2：（1)已知方程x2m一1十y22一m=1表示焦点在y轴上的椭圆，则m的取值范围是 (2)已知椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的一个焦点是圆x2+y2-6r+8=0的圆 心，且短轴长为8，则椭圆的左顶点为 (3)椭圆x29+y24+k=1的离心率为45，则k的值为 变式训练2：(1)已知方程x29-k十y2k一1=1表示椭圆，则k的取值范围为 (2)设e是椭圆x24十y2k=1的离心率，且e∈(12,1)，则实数k的取值范围是 (3)如图，焦点在x轴上的椭圆x24+y2b2=1的离心率e=I2,F,A分别是椭圆的一个焦点 和顶点，P是椭圆上任意一点，则·的最大值为 题型三：椭圆离心率的问题 例3：(1)在平面直角坐标系中，有椭圆x22+y2b2=1(a>b>0)的焦距为2c,以0为圆心， a为半径的圆.过点\a\vs4al\co1(f(a2c),0)作圆的两切线互相垂直，则离心率e (2)设椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左，右焦点为F1,F2,过F2作x轴的垂线与C 相交于A,B两点，FB与y轴相交于点D,若AD⊥FB,则椭圆C的离心率等于 (3)椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的两焦点为F1,F2,若椭圆上存在一点P,使PF⊥P℉2， 则椭圆离心率e的取值范围为 变式训练3：(1)在△ABC中，∠ACB=60°，sinA:sinB=8:5,则以A、B为焦点且过点 C的椭圆的离心率为 （2)已知椭圆短轴上的两个顶点分别为B1,B,焦点为F,F,若四边形BFB,F2是正方 形，则这个椭圆的离心率e= (3)设F1、F2分别是椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点，若在直线x=a2c上存 在点P,使线段F,的中垂线过点F2,则椭圆的离心率的取值范围为 题型四：椭圆的综合问题 例4：已知椭圆x2a2十y2b2=1(a>b>0)经过点(0,3)，离心案为