第29讲 圆与圆的方程讲义-2024届陕西省高三理科数学一轮复习

第29讲圆与圆的方程 一，基础知识回顾 1.圆的定义及方程 定义 平面内与 的距离等于」 的点的集合（轨迹） 标准方程 圆心：()，半径： 般方程 圆心：( ),半径：r= 2.圆的一般方程的特征：圆的一般方程：x2+y2+Dx+Ey十F=0,若化为标准式，即为 a\vs4\al\co1(x+\f(D2))2+avs4alco1(y+\f(E2)2=D2+E2-4f4.由于r2相当于D2 +E2-44.所以①当P+E2-4>0时，圆心为\a\vs4\alco1(-\f(DE2),半径r=D2+ E2-4F)2.②当DP+E2-4P=0时，表示一个点\avs4\a1\co1(-1fDE2).③当D2+E2-4f <0时，这样的圆不存在， 3.确定圆的方程的方法和步骤：确定圆的方程主要方法是待定系数法，大致步骤为(1)根据 题意，选择标准方程或一般方程：(2)根据条件列出关于a,b,r或D、E、F的方程组：(3) 解出a、b、r或D、E、F代入标准方程或一般方程. 4.点与圆的位置关系：点Mxo,y%)与圆x-a)2+y一b)2=2的位置关系： (I)若Mco,%)在圆外，则 (2)若Mo,%在圆上，则 (3)若Mxo,y%)在圆内，则 5.直线与圆的位置关系设直线1：Ax+By+C=0(42+B2≠0)，圆：(c-ad2+y-b2=2 (>0),d为圆心（α，b)到直线1的距离，联立直线和圆的方程，消元后得到的一元二次方程的 判别式为△ 方法 位置关系 几何法 代数法 相交 相切 相离 2.圆与圆的位置关系：设圆O1:(x-a1)2+0-b1)2=21>0),圆O2:(x-a2)2+0y-b2)2=22 (2>0). 方法 几何法：圆心距d与 代数法：两圆方程联立组成方程组的解 位置关系 ,2的关系 的情况 外离 外切 相交 内切 内含 二.典例精析 题型一：求圆的方程 例1：根据下列条件，求圆的方程： (1)经过P(一2,4)、Q3,一1)两点，并且在x轴上截得的弦长等于6： (2)圆心在直线y=-4x上，且与直线1：x+y-1=0相切于点P(3,-2), 变式训练1：(1)已知圆心为C的圆经过点A(0,一6，B(1,一5)，且圆心在直线：x一y十1 =0上，求圆的标准方程： (2)若不同的四点A(5,0)、B(一1,0)、C(一3,3)D(a,3)共圆，求a的值. 题型三：直线与圆的位置关系 例3：(1)已知点M(a,b)在圆O:x2+y2=1外，则直线a+by=1与圆O的位置关系是」 (2)已知圆O:x2+y2=5,直线l:xcos0+sin0=1as4aco1(0<0<y(r2).设圆O上到 直线1的距离等于1的点的个数为k,则k= 变式训练3：圆x-3)2+0-3)2=9上到直线3x+4y-11=0的距离等于1的点的个数为 题型四：圆与圆的位置关系 例4：已知圆C1:x2+y2-2r+4y+m2-5=0,圆C2:x2+y2+2x-2my+m2-3=0,m为 何值时， (1)圆C1与圆C2外切：(2)圆C1与圆C内含. 变式训练4：若⊙O1:x2+y2=5与⊙O2:(x十m)2+2=20m∈R)相交于A,B两点，且两圆 在点A处的切线互相垂直，则线段AB的长度是 题型五：圆的切线与弦长（高频考点 例5：己知点P(2+1,2-2),点M(3,1),圆C:x-1)2+0y-2)2=4 (1)求过点P的圆C的切线方程：(2)求过点M的圆C的切线方程，并求出切线长， 变式训练5：(1)已知圆x2+y2+2x-2y+a=0截直线x+y+2=0所得弦的长度为4，则a= (2)直线y=a十3与圆一2)2+0y一3)2=4相交于M,N两点，若MN≥23，则k的取值范围 是 (3)己知圆C过点(1,0)，且圆心在x轴的正半轴上，直线1：y=x一1被圆C所截得的弦长 为22，则过圆心且与直线1垂直的直线的方程为 4 题型六：与直线和圆有关的最值问题 例6：已知实数x,y满足方程x2+y2-4x十1=0.求：(1)yx的最大值和最小值：(2)y十x 的最大值和最小值；(3)x2+y2的最大值和最小值. 变式训练6：已知实数x、y满足方程x2+y2-4x十1=0. (1)求y+2x+1的最大值和最小值： (2)求x一2y的最大值和最小值： (3)求P(x,y)点到直线3x十4y+12=0的距离的最大值和最小值. 三，方法规律总结 1.求圆的方程，主要有两种方法：(1)几何法：具体过程中要用到初中有关圆的一些常用性 质和定理.如：①圆心在过切点且与切线垂直的直线上：②圆心在任意弦的中垂线上；③两 圆相切时，切点与两圆心三点共线.（②）代数法：根据条件设出圆的方程，再由题目给出的 条件，列出等式，求出相关量，一般地，与圆心和半径有关，选择标准式，