第28讲 直线与直线的方程讲义-2024届陕西省高三理科数学一轮复习

第28讲直线与直线的方程 一，基础知识回顾 1.直线倾斜角的定义：在平面直角坐标系中，对干一条与×轴相交的直线。如果把x轴所 在的直线绕着交点按逆时针方向旋转至和直线重合时，所转的 记为α那么a就叫 做直线的倾斜角，并规定：与×轴平行或重合的直线的倾斜角为_：直线的倾斜角α的取 值范围为 2.直线斜率的定义：倾斜角不是的直线，它的倾斜角的」 叫做这条直线的斜率.直 线的斜率常用k表示，即k=一由正切函数的单调性可知。倾斜角不同的直线其斜率 也不同. 3.过两点的斜率公式：过两点P1(x1,y1),P2(x2,y2)的直线.当1≠x2时.斜率公式k 该公式与两点的顺序无关：当1=时，直线的斜率不存在，此时直线的倾斜角 为 .直线方程的五种基本形式 名称 方程 适用范围 点斜式 不含直线X=Xo 斜截式 不含垂直干x轴的直线 两点式 不含直线x=X1(x1≠x2)和直线y=y1(y1≠ y2) 截距式 不含垂直干坐标轴和过原点的直线 一般式 平面直角坐标系内的直线都适用 5. 两条直线的位置关系 斜截式 一般式 A1X+B1y+C1=0(A21+ 方程 y=kix+b1 y=k2x+b2 B21≠0)A2X+B2y+C2= 0(A22+B22≠0) 相交 垂直 平行 重合 6,两条直线的交点：设两条直线的方程是h:A1x十B1y+C1=0,2:A2×+B2y+C2=0, 两条直线的交点坐标就是方程组A1x+B1y+C1=0,A2x+B2y+C2=0)的解，若方程 组有唯一解，则两条直线一此解就是 :若方程组 则两条直线无公共点， 此时两条直线：反之，亦成立. 7.平面上的几种距离： (1)两点间的距离： 平面上的两点A(x1,y1,B(X2,y2)间的距离公式：AB= (2)点到直线的距离： 点P(x1,y1)到直线I:Ax+By+C=0的距离d= (3)两条平行线间的距离： 两条平行线Ax+By+C1=0与Ax十By+C2=0间的距离d= 题型一：直线的倾斜角和斜率 例1：(1)经过两点A(4.2y+1).B(2.-3)的直线的倾斜角为3n4.则y= (2)直线xsin a-y+1=0的倾斜角的变化范围是 变式训练1：(1)若直线/的斜率为k,倾斜角为a,且a∈\f(m4)Uf(23),,则k的取 值范围是 (2)直线/过点M-1,2)且与以点P(一2，一3)、Q(4,0)为端点的线段恒相交.则1的斜率 范围是」 题型二：求直线的方程 例2：求适合下列条件的值线方程： (1)经过点P(3,2)且在两坐标轴上的截距相等： (2)过点A(一1.一3).斜率是直线y=3x的斜率的一14 (3)经过点A(一1，一3).倾斜角等干直线y=3x的倾斜角的2倍， 变式训练2：△ABC的三个顶点为A(-3,0).B(2,1).C(-2,3),求： ①BC所在直线的方程： ②BC边上中线AD所在直线的方程： ③BC边的垂直平分线DE所在直线的方程， 题型三：两条直线的位置关系 例3：两条直线lh:(m+3)x+2y=5-3m,2:4×+(5+m)y=16,分别求满足下列条 件的m的值. (1)h与2相交：(2)h与2平行：(3)h1与2重合：(4)h与2垂直. 变式训练3：已知两直线h:āx一by+4=0,2:(a-1)x+y+b=0,分别求满足下列条 件的a、b的值. )直线h1过点（一3.一1），且1⊥2：(2)直线1与2平行，且坐标原点到12的距离相 等 题型四：两直线的交点 例4：已知经过两直线h:x一2y+4=0和2：×+y-2=0的交点P.求分别满足下列条 件的直线|的方程 (1)与直线3：3x-4y+5=0平行(2)与直线14：3x-4y+5=0垂直. 变式训练4：已知直线h1:2x+3y+8=0,2:x-y-1=0,3:x+ky+k+12=0.分 别求满足下列条件的k的值： (1)h1,2,3相交干一点：(2)山1,2,13围成三角形. 题型五：距离公式（高频考点） 例5：(1)已知点P(4.a)到直线4x一3y一1=0的距离不大干3，则a的取值范围是 (2)若两平行直线3x-2y一1=0,6x+ay+c=0之间的距离为13)13，则c的值是 变式训练5：(1)平行干直线3x+4y-2=0.且与它的距离是1的值线方程为」 (2)已知A(4,-3),B(2.-1)和直线/：4x+3y-2=0.在坐标平面内一点P,使PA =PB引.且点P到直线I的距离为2.则点P的坐标为」 题型六：直线过定点问题 例6：已知方程(2+入)x-(1+入)y-2(3+2入)=0与点P(-2,2). 证明：对干任意实数入，方程都表示直线。且这些直线都经过同一定点，并求出这一定点坐 标： 变式训练6：已知直线/：kx一y+1+2k=0(k∈R). (1)证