专题42 空间点、线、面之间的位置关系-2024年新高考数学一轮复习讲义之题型归类与强化测试（新高考专用）

专题42空间点、线、面之间的位置关系 知识梳理 考纲要求 考点预测 常用结论 方法技巧 题型归类 题型一：平面的基本性质 题型二：空间两直线的位置关系 题型三：求两条异面直线所成的角 题型四：空间几何体的切割(截面)问题 题型五： 题型六： 题型七： 题型八： 题型九： 培优训练 训练一： 训练二： 训练三： 训练四： 训练五： 训练六： 强化测试 单选题：共8题 多选题：共4题 填空题：共4题 解答题：共6题 一、【知识梳理】 【考纲要求】 1.借助长方体，在直观认识空间点、直线、平面的位置关系的基础上抽象出空间点、直线、平面的位置关系的定义. 2.了解四个基本事实和一个定理，并能应用定理解决问题. 【考点预测】 1.与平面有关的基本事实及推论 (1)与平面有关的三个基本事实 基本事实 内容 图形 符号 基本 事实1 过不在一条直线上的三个点，有且只有一个平面 A，B，C三点不共线⇒存在唯一的α使A，B，C∈α 基本 事实2 如果一条直线上的两个点在一个平面内，那么这条直线在这个平面内 A∈l，B∈l，且A∈α，B∈α⇒l⊂α 基本 事实3 如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线 P∈α，且P∈β⇒α∩β＝l，且P∈l (2)基本事实1的三个推论 推论 内容 图形 作用 推论1 经过一条直线和这条直线外一点，有且只有一个平面 确定平面的依据 推论2 经过两条相交直线，有且只有一个平面 推论3 经过两条平行直线，有且只有一个平面 2.空间点、直线、平面之间的位置关系 直线与直线 直线与平面 平面与平面 平行关系 图形 语言 符号 语言 a∥b a∥α α∥β 相交关系 图形 语言 符号 语言 a∩b＝A a∩α＝A α∩β＝l 独有关系 图形 语言 符号 语言 a，b是 异面直线 a⊂α 3.基本事实4和等角定理 平行公理：平行于同一条直线的两条直线互相平行. 等角定理：如果空间中两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补. 4.异面直线所成的角 (1)定义：已知a，b是两条异面直线，经过空间任意一点O作直线a′∥a，b′∥b，把a′与b′所成的角叫做异面直线a与b所成的角(或夹角). (2)范围：. 【常用结论】 1.证明点共线与线共点都需用到基本事实3. 2.两异面直线所成的角归结到一个三角形的内角时，容易忽视这个三角形的内角可能等于两异面直线所成的角，也可能等于其补角. 【方法技巧】 1.共面、共线、共点问题的证明 (1)证明共面的方法：先确定一个平面，然后再证其余的线(或点)在这个平面内． (2)证明共线的方法：先由两点确定一条直线，再证其他各点都在这条直线上． (3)证明共点的方法：先证其中两条直线交于一点，再证其他直线经过该点． 2.点、直线、平面位置关系的判定，注意构造几何体(长方体、正方体)模型来判断，常借助正方体为模型． 3.求异面直线所成的角的三个步骤 一作：根据定义作平行线，作出异面直线所成的角． 二证：证明作出的角是异面直线所成的角． 三求：解三角形，求出所作的角． 4.作截面应遵循的三个原则： ①在同一平面上的两点可引直线； ②凡是相交的直线都要画出它们的交点； ③凡是相交的平面都要画出它们的交线． 5.作交线的方法有如下两种： ①利用基本事实3作交线； ②利用线面平行及面面平行的性质定理去寻找线面平行及面面平行，然后根据性质作出交线． 二、【题型归类】 【题型一】平面的基本性质 【典例1】如图所示，在正方体ABCD­A1B1C1D中，E，F分别是AB和AA1的中点，求证：E，C，D1，F四点共面． 【典例2】(多选)如图，在长方体ABCD ­A1B1C1D1中，O是DB的中点，直线A1C交平面C1BD于点M，则下列结论正确的是(　　) A．C1，M，O三点共线 B．C1，M，O，C四点共面 C．C1，O，A1，M四点共面 D．D1，D，O，M四点共面 【典例3】如图，空间四边形ABCD中，E，F分别是AB，AD的中点，G，H分别在BC，CD上，且BG∶GC＝DH∶HC＝1∶2. (1)求证：E，F，G，H四点共面； (2)设EG与FH交于点P，求证：P，A，C三点共线． 【题型二】空间两直线的位置关系 【典例1】如图，点N为正方形ABCD的中心，△ECD为正三角形，平面ECD⊥平面ABCD，M是线段ED的中点，则(　　) A．BM＝EN，且直线BM，E