第四章图形的相似专题（三）-【金榜行动】2023-2024学年九年级数学上册教学课件（北师大版）

专题（三） 一、相似与等腰直角三角形 1.如图，已知等腰Rt△ABC,∠ACB=90°，AC=BC,D 为BC边上一动点，BC=nDC,CE⊥AD于点E,延长 BE交AC于点F E E B D B D 1 图2 (1)若n=3,则 A DE (2)若n=2,求证AF=2FC: (3)当n= 时，F为AC的中点（直接填出结 果，不要求证明)」 解：(1)3：9(2)当n=2时，AE=4DE,过D作DG ∥AC交BF于G,DC=DE=1…DG A万=AF4,·CF=2, AF=2CF:(3)设CD=1,则BC=n, CF BC ·DG=BD =n0而AE=mDE,小-品 AF AE =n2,AF= CF,n2=n. m_1+⑤ n-1n=2 2.如图1，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC于点 D,点O是AC边上一点，连接BO交AD于F,OE⊥ OB交BC边于点E. B E E 图1 图2 (1)求证：△ABF∽△COE; (2)当0为4C边中点，始=2时，如图2，求的 值： (3)当0为4C边中点，6=n时，请直接写出E的 值 证明：(1)略(2)作OG⊥AC交AD延长线于G, 由(1)有△ABF∽△COE,.△ABF≌△COE,.BE =OE,证△ABC≌△OAG,∴.OG=AC=2AB,证 OF OG OFOF OG △ABF△GOF,BFAB'OEBF=AR岁 (3) F =n. 二、相似与矩形 3.如图，在矩形ABCD中，E为BC中点，ED交AC于点 P,DQ⊥AC于点Q,AB=√2BC. 求证：AQ=QP 证明：(1)△ADP∽△CEP,∴.CD =2AD,设AD=3,CP=2, E E=15器号：（2)由 B (1)知AP=2CP,CD=W2AD,∴CQ=2AQ,∴A0 =PQ. 4.如图，矩形ABCD,AB=2,AD=3,点P为AD上一 点，PE⊥PC,交AB于E点，点Q在AP上不与P点 重合，且QE⊥QC. (1)求证：AP·DP=AE·DC: (2)求AP+AQ的值， 证明：(1)证△APE∽△DCP, E AP AE DC=DP,AP·DP=AE·DC: B (2)同(1)可得AQ·DQ=AE DC,∴AQ·DQ=AP·DP,即AQ·(3-AQ)=AP ·(3-AP),∴.(AP+AQ)(AP-AQ)=3(AP- AQ),,AP≠AQ,∴.AP+AQ=3. 5.已知，点O为矩形BHCM的对称中心，将一直角的 顶点放在点0处，绕点O旋转、直角两边分别交直 线BH、HC于E、D两点 HE B E 图1 图2 (1)如图1，当BH=3CH时，探究OE与OD的数量 关系，并证明： (2)如图2，当BH=nCH时，直接写出OE:OD= 解：(1)连BC,作OG⊥BC交BH于G,证∠HBC= 0.a△0E0△00c8號-8C-8%= (2)1:n. 三、相似与正方形 6.如图，正方形ABCD,P为BC边上一点，以AP为斜 边在正方形ABCD内作等腰Rt△APQ,连接AC交 PQ于点E,连接DQ. (1)求证：△ACP∽△ADQ: (2)当P为BC的中点时，求汽的值； (3)在(2)的条件下，求证EQ=2DQ. 解：(1)AC=N2AD,AP=2AQ, E ∠PAC=∠DAQ,∴.△ACP∽△ADQ: B (2)△ABP∽△A0E,Ag=-A9=2, ·AP-OE PE=0- :(3)由(1)知PE=2D0, 由(2)知PE=EQ,∴.EQ=w2DQ 7.如图，正方形ABCD中，点P、点Q分别在BC、CD 上，∠PAQ=45°. (1)如图1，若AQ交BC的延长 线于E,若AB=4,BP=1, 求PE: E 解：连AC,证△APC∽ 图1 △EPA,AP2=PC·PE,即17=3·PE,.PE 17 =3