3.2.1基本不等式的证明讲义-2023-2024学年高一上学期数学苏教版（2019）必修第一册

江苏省泰兴市第三高级中学虹桥校区校本化讲义 编号：013 课题：S3.2.1基本不等式的证明 教学课时安排 1、上课时间： 2、课时安排： 3、上课班级 学科目标要求 1、理解并掌握基本不等式Vab≤a+ 2(a>0,b>0. 2理解并擎握基本不等式的变形公式b≤口+乌？≤a+b 2 3、能用基本不等式解决简单的最大值或最小值问题。 本节重点难点 重点：基本不箱式的变形公式ab≤（今≤口+h 2 难点：基本不等式解决简单的最大值或最小值问题。 学科素养目标 在本章教材注重突出不等式的实际背景和实际运用，通过对背景的分析、概括和抽象，建立不等式模 型，进而对不等式模型进行数学研究，最后再回到实际问题中，这里的展开过程与教材的其它章节是一致 的，即按照数学研究的一般程序进行展开.（如图） 现实世界 建立数 对数学模型 利用数学模 中的问题 学模型 进行研究 型解决问题 教材在研究一元二次不等式的图象解法时，首先提出这样的问题“一元二次不等式与相应的二次函 数是否有内在的联系？”这为学生的活动与发现提供了基础，也为研究不等式的解法指明了方向，即数 形结合，教材在研究线性规划的求解方法时，也运用了数形结合的思想方法 基础知识积累 1.算术平均数与几何平均数 对于正数a,b,我们把 称为a,b的算术平均数， 称为a,b的几何平均数. 2.基本不等式 (1)公式： ①条件：a,b是正数： ②结论： ③等号成立：当且仅当a=b时 (2)本质：基本不等式表明，两个正数的算术平均数a十b2不小于它们的几何平均数ab. (3)变形式：当a,b∈R时，a2+b22ab,a2+b2+2ab4ab,aba2+b22, 4b__avs4\al八co1(f(a十b2)2(当且仅当a=b时，等号成立). 3.用基本不等式求最值的结论 -1- 高一数学各课组inim 江苏省泰兴市第三高级中学虹桥校区校本化讲义 对于正数a,b, (①)和a十b为定值时，积ab有最值：积ab为定值时，和a+b有最值. (2)取等号的条件：当且仅当」 时，ab=a十b2. (3)应用：求和式的最小值，乘积式的最大值， 【课前小题演练】 趣1.设a>0,则a+a+4a的最小值为() A.2a+4 B.2 C.4 D.5 题2.下列不等式正确的是() A.a+1a≥2 B.(-a)+(-1a)≤-2 C.a2+1a2≥2 D.(-a)2+\avs4alco1(-\f(1a)2≤-2 题3.若0<a<b且a十b=1,则下列四个数中最大的是() A.12 B.a2+b2 C.2ab D.a 题4.不等式9x一2十（一2）≥6（其中x)2)中等号成立的条件是(） A.x=3B.x=6 C.x=5D.x=10 题5.己知直角三角形的两条直角边的和等于4，则直角三角形面积的最大值是() A.4 B.22C.2D.2 题6.小王从甲地到乙地往返的速度分别为a和b(0<a<b),其全程的平均时速为v,则() A.a<v<ab B.v=ab C.ab<v<a+b2 D.v=a+b2 题7（多选题）.设a,b∈R,且a≠b,a十b=2,则必有() A.ab>1 B.ab<1 C.a2+b22<1 D.a2+b22>1 题8（多选题）.下列推导过程，正确的为() A.因为a,b为正实数，所以ba+ab≥2bab=2 B.因为x∈R,所以1x2+1>1 C.因为a<0,所以4a+a≥24a)·a=4 D.因为x,y∈R,xy<O,所以xy+yx= -[\a\vs4\al\col(-\f(xy))+\a\vs4\al\col(-\f(yx))]5-2\rc\\rc\x))=-2 趣9.己知x>0,y>0,且x+3y=1,则x十yxy的最小值是 题10.若0<a<1,0<b<1,a≠b,则a+b,2ab,2ab,a2+b2中最大的一个是 题11.(1)已知x)0,y>0,y=10,求z=2x+5y的最小值： (2)已知x<3,求f八x)=4x-3+x的最大值. -2- 高一数学各课组jin ailiu 江苏省泰兴市第三高级中学虹桥校区校本化讲义 【课堂题组训练】 题12.已知x,y,z都是正数，且x十y十z=1xyz,则x+y)y十z)的最小值为() A.1B.2 C.3D.4 题13.如图所示，4个长为a,宽为b的长方形，拼成一个正方形ABCD,中间围成一个小正方形ABCD1, 则以下说法中错误的是() C A.(a+b)2≥4ab B.当a=b时，A1,B1,C1,D1四点重合 C.(a-b)2≤4ab D.(a+b)2>(a-b)2 题14（多选题）.下列表达式的最小值为2的有() A.当ab=1时，a+b B.当ab=1时，ba+ab C.a2-2a+3 D.a2+2+1r(a2+2) 题15（多选题