2023年初升高数学讲义之二次函数的最值

初升高之二次函数的最值 资料编号：202308090806 本节衔接樱况 在初中阶段，我们已经详细研究了二次函数的图象及其性质，并且利用二次函 数的性质解决了一些实际问题，如最值问题.面对一个实际问题，我们可以建立一 个目标函数，这个目标函数如果是一个二次函数，那么我们通过对目标函数配方， 把目标函数由一般式化为顶点式后，就可以获得目标函数的最值以及取得最值的 条件，从而获得实际问题的最佳方案然而，我们在求二次函数的最值时，遇到的往 住是具体函数，且自变量的取值范围是全体实数，在高中阶段，问题就变得复杂了， 我们遇到的二次函数不再是具体函数，是含有参数的，并且给出的自变量的取值 范围是被限定在某一个范围之内的，这时候求二次函数的最值，要综合考虑抛物 线的开口方向、对称轴以及自变量的取值范围与对称轴的相对位置关系等等因 此，我们有必要对二次函数的最值在这里做一个拓展学习，以适应高中的学习， 函数的最值 函数的最大值与最小值统称为函数的最值 研究函数的最值要先确定函数的定义域，即自变量的取值范围对于同一函数， 定义域不同，函数的最值也不同. 有些函数，当函数的定义域为全体实数时，函数无最大值或最小值，但当自变量 的取值范围被限定在某一个范围时，函数有最大值或最小值如一次函数 y=x+1,函数的定义域为R,函数无最大值和最小值，若.1≤x≤1，则函数的最大 值为2，最小值为0：再比如反比例函数y=2,既无最大值也无最小值，但若1≤x≤ 6侧丽数的最大值为2最小值为兮还此如二次面数，-41一-登+号 当x=时，函数有最小值无最大值，若0≤x≤2，则当x=)时，函数有最小值 2时，函数有最大值3.因此，在研究或讨论函数的最值时，一定 自变量的取值范围， 从“形”的角度来看，函数的最大值或最小值就是其图象上最高点或最低点的 纵坐标，而最高点或最低点的横坐标就是函数取得最大值或最小值的条件， 第1页 二次函数的最值 二次函数的最值与其图象的开口方向、对称轴以及自变量的取值范围有关. 我们研究的是自变量的范围是全体实数的二次函数的最值和自变量的范围是 部分实数的二次函数的最值， 自变量的范围是全体实数的二次函数的最值 对于二次函数y=ax2+bx+ca10),通过配方我们可以把一般式化为顶点 式：y=+ b 4ac-b (a10),其图象的对称轴为直线x=·b,顶点坐标 2a0 Aa 2a b 4ac-b26 2a'4a0 (1) 当a>0时，二次函数有最小值为-4如c.公，此时r=·之函数无最大 2a 值 (2) 当a<0时，二次函数有最大值为ym-4如c, Aa ,此时x=·函数无最小 2a 值. 例题讲解 例1.求下列函数的最大值或最小值： (1)y=2x2.2x+3: (2)y=.2x2+2x-6. 3 分析在求具体二次函数的最值时，通过配方把一般式化为顶点式，即可确定二次 函数的最值以及取得最值的条件 解：ay-写.2x*3=.52 ∴当x=5时，函数取得最小值，最小值为ym=·2; (2)y=.2x2+2x.6=. 2E.3629 1 82 20 9 当x=3时，函数取得最大值，最大值为m= 例2.设关于x的二次函数y=2x2-4px+3p的最小值为fp). 第2页 (1)求f八p: (2)当p为何值时，八p)有最值，其最值是多少？ 解：(1)y=2x2.4px+3p=2x-p)2-2p2+3p ∴.f八pl=-2p2+3p; (2),f八p)=-2p2+3p m.36+9 pl=248+8 当p=时，p有最大值，最大值为p 8 例3.已知3x+2y=12,求y的最大值. 解：.3x+2y=12 y=6.3 y=x6- 3x9-.2x2+6x=. 202 1三x2)2+6 ∴当x=2,y=6- 2,2=3时，9取得最大值为6. 例4.求函数y= 的最大值. -x1-x 分析对于函数g,=】,若函数fx恒大于0，则当函数取得最小值时， f八x 函数g(x)取得最大值，即当fx>0恒成立时，gxx= f(x)min 对于本题，我们要先说明函数f八x)的值恒为正数，再求出函数fx)的最小值， 即可解决问题。 1 解：y= 1-x1-x)x2-x+1 设=41则≥号 第3页 m=/爱3 8284 函数y=1·1-刘 1 11_4 的最大值为y=不33 点评新知在高中，对于函数f八x),f八a表示的是与自变量x=a对应的函数值， 例5.已知二次函数y=fx的最大值为13，且f3)=f八-1)=5，求该二次函数的 解析式。 分析由条件f3)=f八.1)=5可知(.1,5)，(3,5)两点在该二次函数的图象上，且关 于直线x=+31对称，所以其图象顶点的横坐标为1，而顶点的纵坐标就是函 2 数的最大值13，因此我们可以把二次函数的解析式设为顶