湖南省长沙市长郡湘府中学2023-2024学年高三上学期入学考试（暑假作业检测）数学试题

长郡湘府中学2024届高三暑假作业检测数学试题 一、单选题（每小题5分，共40分） 1．若集合，，则（     ） A． B． C． D． 2．已知平面向量满足，则在上的投影向量为（     ） A． B． C． D． 3．命题为假命题的一个充分不必要条件是（     ） A． B． C． D． 4．已知函数，，对任意，，都有不等式成立，则a的取值范围是（     ） A． B． C． D． 5．设函数的导数为，且，则下列不等式成立的是（     ） A． B． C． D． 6．已知三棱锥的四个顶点都在球的球面上，，，则球的表面积为（     ） A． B． C． D． 7．已知抛物线的焦点为F，准线为，点P为C上一点，过P作的垂线，垂足为A，若AF的倾斜角为，则（     ） A．6 B．5 C．4 D．3 8．已知双曲线C：（a>0，b>0）的离心率为，左，右焦点分别为，关于C的一条渐近线的对称点为P.若，则的面积为（     ） A．2 B． C．3 D．4 二、多选题（每小题5分，共20分， 少选得2分） 9．在复数集内，下列命题是真命题的是（      ） A．若复数，则 B．若复数满足，则 C．若复数，满足，则 D．若复数满足，则 10．已知，则下列结论正确的是（     ） A．的最大值为 B．的最大值为1 C．的最小值为 D．的最小值为3 11．已知定义域为的函数对任意实数都有，且，则以下结论一定正确的有（     ） A． B．是偶函数 C．关于中心对称 D． 12．设等差数列{an}的公差为d，前n项和为Sn，若a3＝12，S12＞0，S13＜0，则下列结论正确的是（     ） A．数列{an}是递增数列 B．S5＝60 C． D．S1，S2，…，S12中最大的是S6 三、填空题（每小题5分，共20分） 13．甲、乙、丙人站到共有级的台阶上，若每级台阶最多站人，同一级台阶上的人不区分站的位置，则不同的站法种数是 （用数字作答）． 14．在锐角中，内角所对的边分别是，若，则的取值范围是 ． 15．若圆上至少有三个不同点到直线:的距离为,则直线的倾斜角的取值范围是 . 16．若函数在单调，且在存在极值点，则的取值范围为 ． 四、解答题（共6小题，共70分） 17．记是内角，，的对边分别为，，.已知，点在边上，. （1）证明：； （2）若，求. 18．已知数列的前项和为，，当时，． (1)求 (2)设，求数列的前项和为． 19．如图，在以A，B，C，D，E，F为顶点的六面体中（其中平面EDC），四边形ABCD是正方形，平面ABCD，，且平面平面 ． (1)设 为棱 的中点，证明：四点共面； (2)若，求平面与平面的夹角的余弦值． 20．设函数 （1）若是的极大值点，求的取值范围. （2）当时，函数有唯一零点，求正数 的值. 一般 激动 总计 男性 90 120 女性 25 总计 200 21．元宵佳节，是民间最重要的民俗节日之一，在某庆祝活动现场，为了解观众对该活动的观感情况（“一般”或“激动”），现从该活动现场的观众中随机抽取200名，得到下表： (1)填补上面的2×2列联表，并依据小概率值的独立性检验，能否认为性别与对该活动的观感程度有关？ (2)该活动现场还举行了有奖促销活动，凡当天消费每满300元，可抽奖一次．抽奖方案是：从装有3个红球和3个白球（形状、大小、质地完全相同）的抽奖箱里一次性摸出2个球，若摸出2个红球，则可获得100元现金的返现；若摸出1个红球，则可获得50元现金的返现；若没摸出红球，则不能获得任何现金返现．若某观众当天消费600元，记该观众参加抽奖获得的返现金额为X，求随机变量X的分布列和数学期望． 0.100 0.050 0.010 0.001 2.706 3.841 6.635 10.828 附：，其中． 22．已知椭圆长轴的左､右端点分别为，点是椭圆上不同于的任意一点，点满足，,为坐标原点. （1）证明：与的斜率之积为常数，并求出点的轨迹的方程； （2）设直线与曲线交于，且，当为何值时的面积最大? 试卷第4页，共4页 试卷第3页，共4页 参考答案： 1．A 【解】，，因此，. 2．B 【解】由题意，∴， ， 解得： ∴在上的投影向量为： 3．C 【解】命题为假命题， 即命题为真命题，首先，时，恒成立，符合题意； 其次时，且，即，综上可知，. 故选项A中，是的充分必要