2024届新高考数学高频考点专项练习：专题四 函数的图象与函数的应用 综合练习（A卷）

2024届新高考数学高频考点专项练习： 专题四 函数的图象与函数的应用 综合练习（A卷） 1.螃蟹素有“一盘蟹，顶桌菜”的民谚，它不但味美，且营养丰富，是一种高蛋白的补品，假设某池塘里的螃蟹繁殖数量y（只）与时间x（年）的关系为，假设该池塘第一年繁殖数量有200只，则第3年它们繁殖数量为( ) A.400 B.600 C.800 D.1600 2.函数的大致图像为( ) A. B. C. D. 3.若a，b，c成等差数列，则二次函数的零点个数是( ). A.0 B.1 C.2 D.1或2 4.函数的大致图象为( ) A. B. C. D. 5.由于某地人们健康水平的不断提高，某种疾病的患病率正以每年20%的比例降低.若要求患病率低于当前患病率的，则至少需要经过___________时间.(参考数据：，)( ) A.4年 B.5年 C.6年 D.7年 6.已知定义在R上的奇函数，满足，当时，，若函数，在区间上有10个零点，则m的取值范围是( ) A. B. C. D. 7.一般来说，事物总是经过发生、发展、成熟三个阶段，每个阶段的发展速度各不相同，通常在发生阶段变化速度较为缓慢、在发展阶段变化速度加快、在成熟阶段变化速度又趋于缓慢，按照上述三个阶段发展规律得到的变化曲线称为生长曲线.美国生物学家和人口统计学家雷蒙德·皮尔提出一种能较好地描述生物生长规律的生长曲线，称为“皮尔曲线”，常用的“皮尔曲线”的函数解析式为(，，)，，该函数也可以简化为(，，)的形式.已知描述的是一种果树的高度随着时间x(单位：年)的变化规律，若刚栽种时该果树的高为1m，经过一年，该果树的高为2.5m，则该果树的高度超过8m，至少需要( ) A.4年 B.3年 C.5年 D.2年 8.已知函数的图像如图所示，则该函数的解析式为( ) A. B. C. D. 9.（多选）已知函数有三个不同的零点，则实数a的取值可以为( ) A.0 B. C.3 D.4 10.（多选）如图所示的是某受污染的湖泊在自然净化的过程中某种有害物质的剩余量y与净化时间t（月）之间满足的函数关系：（，，）的图象.若有害物质的初始量为1，则以下说法中正确的是( ) A.第4个月时，剩余量就会低于 B.每月减少的有害物质的量都相等 C.有害物质每月的衰减率为 D.当剩余量为，，时，所经过的时间分别是，，，则 11.某种干细胞在培养过程中，每30分钟分裂一次（由一个分裂成两个），这种干细胞由1个培养成1024个需经过________小时. 12.已知函数，则函数的零点为________. 13.某桶装水经营部每天的固定成本为420元，每桶水的进价为5元，若日均销售量y（桶）与销售单价x（元）的关系式为，则该桶装水经营部要使日利润最大，销售单价应定为_____________元. 14.已知函数若函数有两个零点，则实数k的取值范围是__________. 15.已知函数. （1）当时，求函数的零点； （2）对任意，函数恒有两个不同的零点，求实数a的取值范围. 答案以及解析 1.答案：C 解析：由题意得，，，则第3年数量. 2.答案：A 解析：由题知，函数的定义域为，可排除选项B；由，可排除选项C；由，可排除选项D，故选A. 3.答案：D 解析：由，，得或.当时，有1个零点；当时，有2个零点. 4.答案：A 解析：由题意得的定义域为R，所以为奇函数，其图象关于原点对称，排除选项B，D. 又，排除选项C，故选A. 5.答案：B 解析：假设至少需要经过的时间为x(单位：年)，由题意得，两边同时取以为底的对数得，，因为，所以，即.故选B. 6.答案：A 解析：由可知函数的图象关于点对称，因为，所以，所以函数的周期为2.作出函数与函数的大致图象如图所示. 由图象可知，函数与函数的图象在区间上从左到右10个交点的横坐标分别为，，0，，1，，2，，3，，第11个交点的横坐标为4，因此，实数m的取值范围是，故选A. 7.答案：A 解析：由题可得则解得，，所以，由函数解析式可知，在上单调递增，且，，故该果树的高度超过8m，至少需要4年.故选A. 8.答案：D 解析：由题图知的定义域为且为偶函数，排除A； 当时，，故是奇函数，排除B； 当时，，故是奇函数，排除C.故选D. 9.答案：CD 解析：当时，恒成立，即在区间上无零点，所以当时，有三个正根，解得或.当时，单调递增，且，则方程有一个根，则方程要有两个根，即有两个正数解，则，解得，故C、D项正确. 10.答案：ACD 解析：根据图象过点，可知，，解得或（舍去）， 函数关系是.令，得，故A正确； 当时，，减少了，当时，，减少了，每月减少的有害物质的量不相等，故B不正确； 因为，所以有害物质每月的衰减率为，故C正确；