【数学思想】第2讲：转化与化归思想在函数中的应用-备战2024高考数学二轮复习讲义

第1讲　转化与化归思想在函数中的应用 在学习数学时，我们研究的最多的题往往是自己不会做的题，因此解题的过程实际上是一个从未知向已知转化的过程。 同样的，我们在解决函数问题的过程中，经常会遇到这样一些困境：做题时总感觉这道题见过，但是按照平时常用的方式就是解不出来。此时便需要我们将问题进行转化，通过观察、分析等思维过程，将原问题转化为一个新问题（相对来说，对自己较熟悉的），通过对新问题的求解，达到解决原问题的目的。 转化和化归可使所要研究的问题化难为易，化生为熟，化繁为简，化未知为已知。通过改变思维的角度，使我们从所给问题的情境中找出我们曾经见过的熟悉的模型，从而迅速、准确地解决问题。 【应用一】利用转化与化归思想解决不等式问题 函数的不等式问题，一直是常考问题，解决不等式问题我们一般的想法是根据函数单调性进行求解，但有的时候，题目给出的不等式中会含有不止一个变量，无法直接利用函数的单调性，此时就需要我们对不等式进行变形，将陌生的问题转化为我们熟悉的利用函数单调性求解的问题，例如下面这道小题： 【例1】若实数，满足，则（     ） A． B． C． D． 本题是一道不等式问题，且含有两个变量，直接运算很难得到答案，所以我们可以对本题中所给的式子进行变形：，接着构建一个新的函数，将这个问题转化为函数单调性问题然后求解。 【思维升华】 通过本题不难发现，对于多变量的不等式求解问题，我们可以对不等式进行适当的变形，化难为易、化繁为简，将其转化为我们所熟悉的函数单调性问题，所以在解答数学问题时，我们有时会遇到陌生的问题，感到棘手。这时，可以想办法把陌生的问题和学过的知识联系起来，把陌生的问题转化为熟悉的问题进行解答，使问题得到有效解决。 【变式1.1】（2020•新课标Ⅱ）若，则　　 A． B． C． D． 【变式1.2】若实数满足，则（    ） A． B． C． D． 【应用二】利用转化与化归思想解决函数最值问题 函数的最值问题是一类常考题型，其中比较经典的就是一次函数与二次函数的比值问题，对于这种题比较直接和容易想到的方法是求导，但求导法在计算量上还是有点大，所以对于此类问题我们可以将分母变形，把这种问题转化为均值不等式的问题，比如下面这道题： 【例2】当x＞﹣1时，关于代数式，下列说法正确的是（　　） A．有最小值 B．不确定 C．有最大值 D．无最大值 对于本题，可以看到当x＞﹣1时x+1＞0，关于代数式可以变形为：＝，然后根据基本不等式可解决此题． 【思维升华】 通过本题不难发现，对于求形如一次函数/二次函数的代数式最值问题，我们可以对代数式的分母进行适当的变形，将其转化为我们所熟悉的基本不等式求最值问题，所以解答有些数学问题时，我们可以通过变形，利用已经所学过的定义、定理和公式等，达到从未知到已知的转化，从而使问题得到解决。不仅对于一次函数/二次函数型代数式，我们可以用同样的方法研究二次函数/一次函数型代数式的最值。 【变式2.1】设，则的最小值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式2.2】设，则的最大值为（    ） A．3 B． C． D． 【应用三】利用转化与化归思想解决函数零点问题 函数的极值问题，既是重点题型又是难点题型，遇到此类题，我们一般的想法是进行求导，实际上，对于已知的基本初等函数求极值的问题，也可以直接做出基本初等函数的图象，结合函数图象使问题得到解决，比如下面这道题： 【例3】（2018·全国Ⅰ卷）已知函数，,若g(x)存在2个零点,则a的取值范围是( ) A.[-1,0) B.[0,+∞) C.[-1,+∞) D.[1,+∞) 把函数零点的问题,转化为方程根的问题,进而转化为函数的图象与直线的图象的交点问题，观察函数的解析式，可以看到是由我们熟悉的指数函数和对数函数构成的，所以能很容易画出函数图象，接着借助函数图象便能得到我们想要的答案。 【思维升华】 通常研究函数零点问题，如果我们发现函数值得零很难解，我们就可以把它转化为两个函数图象的交点问题，所以对于函数零点，大部分问题的解决都离不开转化与化归和数形结合思想，这体现了数与形的相互转化。 【变式3.1】函数的零点个数为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【变式3.2】若函数有极值点，，且，则关于的方程的不同实根个数是（ ） A.3 B.4 C.5 D.6 【应用四】利用转化与化归思想判断大小 在做题的过程中，我们经常会遇到比大小问题，遇到这类题，我们的想法往往是先找一个中间值，比如比较这些数和0或1的大小，接着根据小于0的数最小，其次是0-1之间的数，最大的是大于1的数，得到最终结果，但有的时候，题目中出现的数字可能都小于0，或都在0-1之间，或都大于1，例如：，，，这三个数都在0-