精品解析：上海市天山中学2022-2023学年高二下学期期中数学试题

2023年天山中学高二年级下学期期中试卷 一、填空题（每小题3分，共36分） 1. 抛物线准线方程是______． 2. 双曲线的渐近线方程是__________． 3. 记为等差数列的前n项和，若，，则__________． 4. 椭圆离心率____________ 5. 计算:__________; 6. 已知圆和点，则过点的圆的切线方程为______ 7. 已知抛物线与过焦点的一条直线相交于A，B两点，若弦的中点M的横坐标为，则弦的长____________ 8. 已知数列是等差数列，则下列数列中必为等差数列的序号是____________ ① ② ③ ④ 9. 已知，且这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，则_______________. 10. 如图是抛物线形拱桥，当水面在时，拱顶离水面2米，水面宽4米，水位下降1米后，水面宽 米. 11. 已知椭圆，点P是椭圆上的动点，定点A的坐标为，则的最小值为____________ 12. 在平面直角坐标系xOy中，当不是原点时，定义P的“伴随点”为，当P是原点时，定义P的“伴随点”为它自身．平面曲线C上所有点的“伴随点”所构成的曲线C＇定义为曲线C的“伴随曲线”，现有如下命题： ①若点A的“伴随点”是点A＇，则点A＇的“伴随点”是A； ②若曲线C关于x轴对称，则其“伴随曲线”C＇关于y轴对称； ③单位圆的“伴随曲线”是它自身； ④一条直线的“伴随曲线”是一条直线 其中所有的真命题为_____________ 二、选择题（每小题3分，共12分） 13. 圆心为且过原点的圆的方程是 A. B. C. D. 14. 设表示双曲线，则该双曲线的虚轴长为（ ）. A. B. 2k C. D. 15. 我国古代数学著作《九章算术》中记载问题：“今有垣厚八尺，两鼠对穿，大鼠日一尺，小鼠日半尺，大鼠日增倍，小鼠日自半，问几何日相逢?”，意思是“今有土墙厚8尺，两鼠从墙两侧同时打洞，大鼠第一天打洞一尺，小鼠第一天打洞半尺，大鼠之后每天打洞长度比前一天多一倍，小鼠之后每天打洞长度是前一天的一半，问两鼠几天打通相逢?”两鼠相逢需要的最少天数为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 16. 已知数列为等差数列,若,且其前项和有最大值,则使得的最大值为 A. 11 B. 19 C. 20 D. 21 三、解答题（共52分） 17. 等比数列中，. (1)求； (2)设，求数列的前项和. 18. 已知直线与曲线只有一个公共点，求实数a的值； 19. 已知直线为公海与领海的分界线，一艘巡逻艇在原点处发现了北偏东 海面上处有一艘走私船，走私船正向停泊在公海上接应的走私海轮航行，以便上海轮后逃窜.已知巡逻艇的航速是走私船航速的2倍，且两者都是沿直线航行，但走私船可能向任一方向逃窜. （1）如果走私船和巡逻船相距6海里，求走私船能被截获点的轨迹； （2）若与公海的最近距离20海里，要保证在领海内捕获走私船，则，之间的最远距离是多少海里？ 20. 已知椭圆经过点，其左焦点为；过F点的直线l交椭圆于A，B两点，交y轴的正半轴于点M； （1）求椭圆E的方程； （2）若直线l过点F且斜率存在，设斜率为k，求弦长关于k的函数解析式； （3）过点F且与l垂直的直线交椭圆于C，D两点，若四边形的面积为，求直线l的方程； 21. 已知数列的前n项和为，已知数列的各项均为正数，，且； （1）求数列的通项公式； （2）求证：数列是等差数列，并求出的通项公式； （3）若，求对所有正整数n都有成立的实数k的取值范围？ 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2023年天山中学高二年级下学期期中试卷 一、填空题（每小题3分，共36分） 1. 抛物线的准线方程是______． 【答案】 【解析】 【详解】由题意可得p=4,所以准线方程为,填 2. 双曲线的渐近线方程是__________． 【答案】y=± 【解析】 【分析】由双曲线的方程求得，再根据双曲线的几何性质，即可求解渐近线的方程，得到答案． 【详解】由双曲线的方程，可得， 又由焦点在轴上，故渐近线方程为， 故答案为． 【点睛】本题主要考查了双曲线的标准方程及其简单几何性质，其中解答中熟记双曲线的几何性质，合理计算是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题． 3. 记为等差数列的前n项和，若，，则__________． 【答案】6 【解析】 【分析】利用等差数列的通项公式求和公式即可得出. 【详解】解：设等差数列的公差为， ， ，解得. 则. 故答案为：6. 【点睛】本题考查了等差数列的求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题. 4. 椭圆的离心率____