专题19 三角恒等变换公式-2024年新高考数学高频考点+重点题型讲练测

学科网（北京）股份有限公司 专题19三角恒等变换公式 一、核心体系 1. 两角和与差的公式 2. 二倍角公式 二倍角公式 二、关键能力 会用向量的数量积推导出两角差的余弦公式．会用两角差的余弦公式推导出两角差的正弦、正切公式。 会用两角差的余弦公式推导出两角和的正弦、余弦、正切公式和二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系。 能运用上述公式进行简单的恒等变换。　　 三、教学建议 从近三年高考情况来看，本讲是高考中的一个必考内容，但很少独立命题．预测2022年高考仍是以两角和与差的公式为基础，结合辅助角公式及三角函数的相关性质，如周期性、单调性、最值、对称性求三角函数的值等．题型既可能是客观题，也可能是解答题，难度属中档. 四、高频考点 1.两角和与差的正弦、余弦、正切公式 C(α－β) cos(α－β)＝cos α cos β＋sinα sin β C(α＋β) cos(α＋β)＝cosα cosβ－sinα sinβ S(α－β) sin(α－β)＝sinα cosβ－cosα sinβ S(α＋β) sin(α＋β)＝sinαcosβ＋cosα sinβ T(α－β) tan(α－β)＝； 变形：tan α－tan β＝tan(α－β)(1＋tan αtan β) T(α＋β) tan(α＋β)＝； 变形：tan α＋tan β＝tan(α＋β)(1－tan αtan β) 2.二倍角公式 S2α sin 2α＝2sin_αcos_α； 变形：1＋sin 2α＝(sin α＋cos α)2， 1－sin 2α＝(sin α－cos α)2 C2α cos 2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α； 变形：cos2α＝，sin2α＝ T2α tan 2α＝ 五、重点题型 考点一、两角和差的正弦余弦正切公式 例1-1（1）.设a＝cos 50°cos 127°＋cos 40°cos 37°，b＝(sin 56°－cos 56°)，c＝，则a，b，c的大小关系是(　　) A．a＞b＞c B．b＞a＞c C．c＞a＞b D．a＞c＞b 例1-1（2）.已知，为锐角，，，则（ ） A． B． C． D． 例1-1（3）．（2022·全国·统考高考真题）若，则（    ） A． B． C． D． 例1-2.已知为锐角，，则（ ） A． B． C． D． 例1-3（1）的值是______. 例1-3（2）已知sin αcos β＝，则cos αsin β的取值范围________． 对点训练一（正用、逆用） 1.(2020·全国卷Ⅲ)已知2tan θ－tan＝7，则tan θ＝(　　) A．－2 B．－1 C．1 D．2 2．(2020·全国卷Ⅲ)已知sin θ＋sin＝1，则sin＝(　　) A. B. C. D. 3.我国古代数学家僧一行应用“九服晷影算法”在《大衍历》中建立了晷影长与太阳天顶距的对应数表，这是世界数学史上较早的一张正切函数表.根据三角学知识可知，晷影长度等于表高与太阳天顶距正切值的乘积，即.若对同一“表高”两次测量，“晷影长”分别是“表高”的2倍和3倍(所成角记，)，则___________. 对点训练二（角的变换） 1.平面直角坐标系中，点是单位圆在第一象限内的点，，若，则为_____． 对点训练三（变形用） 1.已知，，则的值为（ ） A． B． C． D． 2.在中，，，下列各式正确的是( ) A． B． C． D． 考点二、二倍角公式 例2-1.设，，，则，，的大小关系为（ ） A． B． C． D． 例2-2.已知α为第三象限角，且sin2α－2＝2cos 2α，则sin的值为(　　) A．－ B. C．－ D. 对点训练一（正用和逆用） 1.(2020·全国卷Ⅰ)已知α∈(0，π)，且3cos 2α－8cos α＝5，则sin α＝(　　) A.　 B． C. D. 对点训练二（降次公式） 1.已知A，B均为钝角，sin2＋cos＝，且sin B＝，则A＋B＝(　　) A. B． C. D． 2．（2023·全国·甲卷）已知为锐角，，则（    ）． A． B． C． D． 考点三、公式的综合应用 例3-1.（2023·新高考1卷）已知，则（    ）． A． B． C． D． 例3-2. －＝ 例3-3. 已知α，β∈(0，π)，且tan(α－β)＝，tan β＝－，求2α－β的值． 例