专题22.5 二次函数综合——特殊四边形问题（压轴题专项讲练）-2023-2024学年九年级数学上册压轴题专项讲练系列（人教版）

专题22.5 二次函数综合——特殊四边形问题 【典例1】如图1，抛物线与轴交于，，与轴交于点．        （1）求抛物线的解析式； （2）如图2，点、为直线下方抛物线上的两点，点的横坐标比点的横坐标大1，过点作轴交于点，过点作轴交于点，求的最大值及此时点的坐标； （3）如图3，将抛物线先向右平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度得到新的抛物线，在的对称轴上有一点，坐标平面内有一点，使得以点、、、为顶点的四边形是矩形，请直接写出所有满足条件的点的坐标． 【思路点拨】 （1）直接运用待定系数法即可解答； （2）设，则，进而得到，；再表示出，最后根据二次函数的性质即可解答； （3）分以为矩形一边和对角线两种情况，分别根据等腰直角三角形的性质、平移和矩形的判定定理解答即可． 【解题过程】 （1）解：把和代入，得 ，解得， ∴抛物线的解析式为． （2）解：设，则. 又 ∴， ∴， ∴ ∴当时， ∴． （3）解：由题意可得：， ∴的对称轴为 ∵抛物线与轴交于点． ∴, ∵, ∴,； ①如图：当为矩形一边时，且点D在x轴的下方，过D作轴， ∵D在的对称轴为， ∴， ∴,,即点， ∴点C向右平移2个单位、向下平移3个单位可得到点D，则点B向右平移2个单位、向下平移3个单位可得到； ②如图：当为矩形一边时，且点D在x轴的上方，的对称轴为与x轴交于F， ∵D在的对称轴为， ∴， ∴， ∵，即， ∴ ,即点， ∴点B向左平移1个单位、向上平移1个单位可得到点D，则点C向左平移1个单位、向上平移1个单位可得到点； ③如图：当为矩形对角线时，设，， ∴的中点F的坐标为， ∴，解得： 又∵, ∴，解得：， 联立，解得：， ∴点E的坐标为或． 综上，存在或或或使以点、、、为顶点的四边形是矩形． 1．（2023·广东江门·统考一模）如图，已知抛物线与轴交于、两点，与轴交于点，点在点左侧，点的坐标为，点的坐标为为． （1）求抛物线的函数关系式； （2）若点是轴上的一点，在抛物线上是否存在点，使以、、、为顶点且以为一边的四边形是平行四边形﹖若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 2．（2023·浙江·九年级假期作业）如图所示，在平面直角坐标系中，直线交坐标轴于B、C两点，抛物线经过B、C两点，且交x轴于另一点．点D为抛物线在第一象限内的一点，过点D作，交于点P，交x轴于点Q． （1）求抛物线的解析式； （2）设点P的横坐标为m，在点D的移动过程中，存在，求出m值； （3）在抛物线上取点E，在平面直角坐标系内取点F，问是否存在以C、B、E、F为顶点且以为边的矩形？如果存在，请求出点F的坐标；如果不存在，请说明理由． 3．（2023·山西晋城·统考一模）综合与探究：如图，抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C． （1）求点A，B，C的坐标； （2）点D是第三象限内抛物线上的动点，设点D的横坐标为m，求四边形面积S的最大值及此时点D的坐标； （3）若点P在抛物线对称轴上，点Q是平面内一点，试探究，是否存在点P，Q，使以点A，C，P，Q为顶点的四边形是以为对角线的菱形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 4．（2023·陕西西安·西安市铁一中学校考模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，抛物线L：与x轴交于，两点，其对称轴直线l与x轴交于点D． （1）求抛物线L的函数表达式． （2）将抛物线L向左平移得到抛物线，当抛物线经过原点时，与原抛物线的对称轴相交于点E，点F为抛物线对称轴上的一点，点M是平面内一点，若以点A，E，F，M为顶点的四边形是以为边的菱形，请求出满足条件的点M的坐标． 5．（2023秋·湖南湘西·九年级统考期末）如图，在平面直角坐标系中，二次函数与x轴交于A、B两点（A点在B点的左侧），直线与抛物线交于A、C两点．    （1）求点C的坐标； （2）点P为直线下方抛物线上一点，过点P作y轴平行线交于E点，当最长时求此时点P的坐标； （3）抛物线顶点为M，在平面内是否存在点N，使以为顶点的四边形为平行四边形？若存在请求出N点坐标并在备用图中画出图形；若不存在，请说明理由． 6．（2023秋·山西大同·九年级大同一中校考期末）如图，抛物线与轴交于，两点，直线与抛物线交于、两点，与轴交于点．      （1）求出抛物线与直线的解析式； （2）已知点为线段上一动点，过点作轴的平行线交抛物线于点，连接、，求的最大面积； （3）若点是轴上的一动点，点是抛物线上一动点，当以点、、、四点为顶点的四边形是平行四边形时，请你直接写出符合条件的点的坐标． 7．（2023·宁夏银川·校考二模）如图，抛物线与轴交于，两点，过点的直线交抛物线于点．      （1）求抛物线的解析式． （2）点是线段上一个动点，过点作轴的垂线交抛