专题22.4 二次函数综合——特殊三角形问题（压轴题专项讲练）-2023-2024学年九年级数学上册压轴题专项讲练系列（人教版）

专题22.4 二次函数综合——特殊三角形问题 【典例1】如图，抛物线的顶点坐标为，且与轴交于点、（点在点的右侧），与y轴交于点，点为该抛物线的对称轴上的点．    （1）求该抛物线的函数表达式和点的坐标； （2）在对称轴右侧的抛物线上是否存在点，使得是以为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【思路点拨】 （1）设抛物线的函数表达式为，将点代入，利用待定系数法即可求解，令即可求得点的坐标； （2）记抛物线的对称轴与轴的交点为，则，分两种情况：①当点在轴上方时，如图点、分别在点的位置，过点作于点，证明，得，，设，则，代入可得的值，从而求得的坐标；②当点在轴下方时，如图点、分别在点的位置，过点作于点，同理可得的坐标． 【解题过程】 （1）解：设抛物线的函数表达式为， 将点代入得：， 解得， 抛物线的函数表达式为， 令得：， 解得，， ； （2）解：存在点，使得是以为直角顶点的等腰直角三角形，理由如下： 记抛物线的对称轴与轴的交点为，则， ①当点在轴上方时，如图点、分别在点的位置，过点作于点，如图：    ， ， ， ， ，， ， ，， ，， ， 设，则， 将代入得：， 解得（舍去）或； ； ②当点在轴下方时，如图点、分别在点的位置，过点作于点，如图：    ， ， ， ， ，， ， ，， ，， ， 设，则， 把代入得：， 解得：（舍去）或， ． 综上所述，E的坐标为或． 1．（2023·浙江·九年级假期作业）如图，已知抛物线与x轴交于A、B两点（点A在点B的左边），与y轴交于点C，连接．    （1）求A、B、C三点的坐标及抛物线的对称轴； （2）若已知x轴上一点，则在抛物线对称轴上是否存在一点Q，使得是直角三角形？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 2．（2022秋·山西吕梁·九年级校考阶段练习）综合与探究 如图，抛物线与轴交于两点（点在点的左侧），与轴交于点，点是第一象限内抛物线上的一个动点．      （1）请直接写出点A，B，C的坐标； （2）是否存在这样的点，使得？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由； （3）若点是直线上一点，是否存在点，使得以点为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求出的坐标；若不存在，请说明理由． 3．（2023秋·山西晋城·九年级校考期末）如图1，抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于点C，顶点为D．点P是直线上方抛物线上的一个动点，过点P作轴于点E，交直线于点Q．    （1）求抛物线的表达式； （2）求线段的最大值； （3）如图2，过点P作x轴的平行线交y轴于点M，连接．是否存在点P，使得为等腰三角形？若存在，请直接写出点P的横坐标；若不存在，请说明理由． 4．（2023春·山东济宁·九年级统考期末）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与x轴交于点A，与y轴交于点C，抛物线关于直线对称，且经过A，C两点，与x轴交于另一点为B． （1）求抛物线的解析式； （2）若点P为直线上方的抛物线上的一点，过点P作轴于M，交于Q，求的最大值，并求此时P点的坐标； （3）在抛物线的对称轴上找一点D，使是以为直角边的直角三角形，请求出点D的坐标． 5．（2023·浙江·九年级假期作业）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴相交于A，B两点，与y轴相交于点C，直线经过B，C两点，已知，，且．    （1）试求出点B的坐标． （2）分别求出直线和抛物线的解析式． （3）在抛物线的对称轴上是否存在点P，使得以三点为顶点的三角形是直角三角形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 6．（2023秋·山西阳泉·九年级统考期末）综合与探究：在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点和点，与轴交于点，过动点作平行于轴的直线，直线与抛物线相交于点，．    （1）求抛物线的表达式； （2）求的取值范围； （3）直线上是否存在一点，使得是以为直角边的等腰直角三角形？若存在，求的值；若不存在，请说明理由． 7．（2023秋·九年级单元测试）如图，抛物线与x轴相交于A，B两点（点A位于点B的左侧），与y轴相交于点C，M是抛物线的顶点，直线是抛物线的对称轴，且点C的坐标为． （1）求抛物线的关系式； （2）已知P为线段上一个动点，过点P作轴于点D．若，的面积为S． ①求S与m之间的函数关系式． ②当S取得最大值时，求点P的坐标． （3）在（2）的条件下，在线段上是否存在点P，使为等腰三角形？如果存在，直接写出满足条件的点P的坐标；如果不存在，请说明理由． 8．（2023·辽宁营口·校联考一模）已知直线l与轴、轴分别相交于、两点，抛物线 经过点，交轴正半轴于点．   　　   （1）求直线的函数解析式和抛物线的函数解析式； （2）在第一象限内抛物线上取点，连接、，求面积的