专题22.3 二次函数综合——面积问题（压轴题专项讲练）-2023-2024学年九年级数学上册压轴题专项讲练系列（人教版）

专题22.3 二次函数综合——面积问题 【典例1】如图，在平面直角坐标系中，抛物线交x轴于，B两点，交y轴于点C，轴，交抛物线于点D，．    （1）求抛物线的解析式； （2）在直线上方的抛物线上是否存在一点Q，连接，，使，若存在，求点Q的横坐标；若不存在，请说明理由． 【思路点拨】 （1）根据抛物线解析式确定点，根据勾股定理，得到，确定抛物线的对称轴，把点A代入解析式计算即可． （2）设，分类用m的代数式表示三角形的面积，建立方程计算即可． 【解题过程】 解：（1）∵， 令，得. ∴. ∴. ∵， ∴. ∴. ∴. ∴抛物线对称轴为， ∴. ∴. 将点代入中， 得. ∴， ∴抛物线解析式为． （2）∵，， ∴. 设， 当时， 设直线的解析式为， ∴， 解得， ∴直线的解析式为. 过点A作轴，交于点E，    则, ∴, ∴, ∵, ∴， 解得（舍去） 故Q的横坐标为； 当时， 设直线的解析式为， ∴， 解得， ∴直线的解析式为. 过点D作轴，交于点G，则, ∴,   ∴, ∵,   ∴， 解得（舍去） 故Q的横坐标为； ∴点Q的横坐标为或． 1．（2023·山东菏泽·统考二模）已知抛物线的对称轴是直线，与轴相交于A，B两点（点B在点A右侧），与轴交于点C．    （1）求抛物线的解析式； （2）如图，若点P是抛物线上B、C两点之间的一个动点（不与B、C重合），是否存在点P，使四边形的面积最大？若存在，求点P的坐标及四边形面积的最大值；若不存在，请说明理由． 2．（2023秋·河南·九年级校联考期末）如图，已知抛物线与直线交于，两点．    （1）求的值及抛物线的解析式； （2）若点P是位于直线上方的抛物线上的一个动点，求面积的最大值及此时点P的坐标． 3．（2022春·九年级单元测试）如图，抛物线经过点，与轴的另一个交点为．    （1）求该抛物线的函数表达式； （2）点为抛物线上一动点（与点，不重合），设点的横坐标为，连接，，若点在直线的下方运动，当的面积最大时，求的值． 4．（2023秋·山东济宁·九年级统考期末）如图，抛物线与轴交于点，与轴交于，两点，点在点的左侧，且．    （1）求此抛物线的解析式； （2）求点坐标和抛物线的对称轴； （3）如果点是线段上方抛物线上的动点，设点的横坐标为，的面积为，求与的关系式，并求当最大时点的坐标． 5．（2023·全国·九年级专题练习）如图一，已知直线与抛物线交于A、B两点，抛物线与y轴交于C． （1）求A、B两点的坐标； （2）设抛物线与x轴的两个交点M、N（M在N左侧），请计算和的面积； （3）在抛物线A、B两点之间有一动点P，的面积是否存在最大值？若存在，请求出最大面积；若不存在，请说明理由； 6．（2023秋·江苏宿迁·九年级统考期末）如图，二次函数的图像与x轴交于、两点，与y轴交于点B．点P是直线上方抛物线上的一个动点，连接．    （1）求这个二次函数的表达式； （2）设的面积为S，点P的横坐标为m，求S与m之间的函数表达式； （3）点P在运动过程中，能否使的面积S恰好为整数？若能，请求出m的值；若不能，请说明理由． 7．（2020秋·广东广州·九年级广州市第十三中学校考期中）如图，在平面直角坐标系中，点B的坐标为，线段绕原点逆时针旋转后与x轴的正半轴重合，点B的对应点为点A．    （1）直接写出点A的坐标，并求出经过A、O、B三点的抛物线的解析式． （2）在抛物线的对称轴上是否存在点C，使的值最小？若存在，求出点C的坐标；若不存在，请说明理由． （3）点P是抛物线上的一个动点，且在x轴的上方，当点P运动到什么位置时，的面积最大？求出此时点P的坐标和的最大面积． 8．（2023·陕西西安·西安市铁一中学校考模拟预测）如图，顶点在轴负半轴上的抛物线与直线相交于点，，连接.    （1）求该抛物线的函数表达式； （2）若将抛物线向下平移个单位长度，则在平移后的抛物线上，且在直线的下方，是否存在点，使得？若存在，求出点的坐标：若不存在，请说明理由. 9．（2022秋·天津滨海新·九年级校考期中）如图，已知抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于C点，抛物线的顶点为D点，点A的坐标为．    （1）求D点的坐标； （2）连接，说明； （3）若点P是直线下方抛物线上一动点，当点P位于何处时，的面积最大？求出此时点P的坐标． 10．（2023·安徽合肥·合肥市第四十五中学校考模拟预测）已知抛物线交x轴于，，与y轴交于点C．      （1）求b，c的值； （2）已知P为抛物线一点（不与点B重合），若点P关于x轴对称的点恰好在直线上，求点P的坐标； （3）在（2）的条件下，平移抛物线，使其顶点始终在直线上，且与相交于点Q，求面积的最小值． 11．（2022秋·山西大同·九年级