第26章 专题五 构造直角三角形解决实际问题-(习题课件)【优+学案】2023-2024学年九年级上册数学课时通(冀教版)

年级上册·JJ 数 学 第二十六章　解直角三角形 专题五　构造直角三角形解决实际问题 ⁠构造单一直角三角形解决问题 1.墙壁及淋浴花洒截面如图所示.已知花洒底座A与地面的距离AB为170 cm，花洒AC的长为30 cm，与墙壁的夹角∠CAD为43°，求花洒顶端C到地面的距离CE.（结果精确到1 cm，参考数据：sin 43°≈0.68，cos 43°≈0.73，tan 43°≈0.93） 解：如图所示，过点C作CF⊥AB于点F，则∠AFC＝90°. 在Rt△ACF中，AC＝30 cm，∠CAF＝43°. ∵cos∠CAF＝，∴AF＝AC·cos∠CAF≈30×0.73＝21.9（cm）， ∴CE＝BF＝AB＋AF＝170＋21.9＝191.9≈192（cm）. 即花洒顶端C到地面的距离CE约为192厘米. 2.如图所示是一辆小汽车与墙平行停放的平面示意图，汽车靠墙一侧OB与墙MN平行且距离为0.8 m，已知小汽车车门宽AO为1.2 m，当车门打开角度∠AOB为40°时，车门是否会碰到墙？请说明理由.（参考数据：sin 40°≈0.64，cos 40°≈0.77，tan 40°≈0.84） 解：当车门打开角度∠AOB为40°时，车门不会碰到墙.理由如下： 如图所示，过点A作AC⊥OB， 垂足为点C. 在Rt△ACO中，∠AOC＝40°， AO＝1.2 m， ∴AC＝AO·sin∠AOC≈1.2×0.64＝0.768（m） . ∵汽车靠墙一侧OB与墙MN平行且距离为0.8 m，0.768 m＜0.8 m， ∴车门不会碰到墙. ⁠构造双直角三角形解决问题 3.如图所示，海中有一灯塔P，在它的周围8海里内有暗礁，海轮以18海里/时的速度由西向东航行，在A处测得灯塔P在北偏东60°的方向上，航行40分钟到达B处，测得灯塔P在北偏东30°方向上，如果海轮不改变方向继续向东航行，是否有触礁的危险？ 解：如图所示，过点P作PC⊥AB，交AB的延长线于点C， 则∠PCB＝90°，由题意知∠PAB＝90°－60°＝30°， ∠PBC＝90°－30°＝60°， AB＝18×＝12（海里）. ∵∠PBC＝∠PAB＋∠APB＝60°， ∴∠APB＝60°－∠PAB＝30°＝∠PAB，∴PB＝AB＝12海里. ∵在Rt△PBC中，sin∠PBC＝， ∴PC＝PB·sin∠PBC＝12×＝6＞8. ∴轮船不改变方向继续向东航行不会有触礁危险. 4.如图所示，A，B两市相距150 km，国家级风景区中心C位于A市北偏东60°方向上，位于B市北偏西45°方向上.为了促进旅游经济发展，有关部门计划修建连接A，B两市的高速公路，求风景区中心C到高速公路AB的距离.（结果精确到0.01 km，参考数据：≈1.73） 解：过点C作CH⊥AB于点H，如图所示. 根据题意，得∠CAB＝30°，∠CBA＝45°. ∵在Rt△CHB中，tan∠CBH＝＝1， ∴CH＝BH.设BH＝t km，则CH＝t km. ∵在Rt△CAH中，tan∠CAH＝＝， ∴AH＝t km.∵AB＝150 km， ∴t＋t＝150 km， ∴t＝75－75≈75×1.73－75＝54.75（km）. 即风景区中心C到高速公路AB的距离约是54.75千米. 5.如图所示，数学活动课上，小明和小红要测量小河对岸大树BC的高度，小红在点A测得大树顶端B的仰角为45°，小明从A点出发沿斜坡走3米到达斜坡上点D，在此处测得树顶端点B的仰角为31°，且斜坡AF的坡比为1∶2. （1）求小明从点A到点D的过程中，他上升的高度. 解：（1）作DH⊥AE于点H，如图①所示. 在Rt△ADH中，＝， ∴AH＝2DH.∵AH2＋DH2＝AD2， ∴（2DH）2＋DH2＝（3）2，解得DH＝3米. 答：小明从点A到点D的过程中，他上升的高度为3米. （2）依据他们测量的数据能否求出大树BC的高度？若能，请计算；若不能，请说明理由.（参考数据：sin 31°≈0.52，cos 31°≈0.86，tan 31°≈0.60） 解：（2）能.如图②所示，延长BD交AE于点G，设BC＝x米，由题意得∠G＝31°，∴GH＝≈＝5（米）. ∵AH＝2DH＝6米，∴GA＝GH＋AH≈5＋6＝11（米）. 在Rt△BGC中，tan G＝，∴CG＝≈＝x（米）. 在Rt△BAC中，∠BAC＝45°，∴AC＝BC＝x米. ∵GC－AC＝AG，∴x－x＝11米， 解得x＝16.5米. 答：大树BC的高度约为16.5米. 6.小强洗漱时的侧面示意图如图所示，洗漱台（矩形ABCD）靠墙摆放，高AD＝80 cm，宽AB＝48 cm，小强身高166 cm，下半身FG＝100 cm，洗漱时身体前倾，下半身与地面的夹角∠FGK＝80°，上半身与下半身所成