第26章 专题四 求锐角三角函数值的常用方法-(习题课件)【优+学案】2023-2024学年九年级上册数学课时通(冀教版)

年级上册·JJ 数 学 第二十六章　解直角三角形 专题四　求锐角三角函数值的常用方法 ⁠运用定义求锐角三角函数的值 1.如图所示，在△ABC中，∠C＝90°，点D在BC上，AD＝BC＝5，cos∠ADC＝，求sin B的值. 解：∵AD＝BC＝5，cos∠ADC＝， ∴CD＝3.∵在Rt△ACD中，AD＝5， CD＝3，∴AC＝＝＝4. ∵在Rt△ABC中，AC＝4，BC＝5， ∴AB＝＝＝， ∴sin B＝＝＝. 2.如图所示，AD是△ABC的高，已知AD＝6，tan C＝，BC＝12. （1）求CD边的长. 解：（1）∵AD是△ABC的高， ∴AD⊥BC， ∴△ADC为直角三角形. 在Rt△ADC中， ∵tan C＝＝，AD＝6， ∴CD＝4. （2）求cos B的值. 解：（2）∵BC＝12，CD＝4， ∴BD＝8. 在Rt△ADB中， AB＝＝10， ∴cos B＝＝. ⁠巧设参数求锐角三角函数的值 3.如图所示，在△ABD中，AC⊥BD于点C，＝，点E是AB的中点，tan D＝2，CE＝1，求sin∠ECB的值和AD的长. 解：∵AC⊥BD，∴∠ACB＝∠ACD＝90°.∵E是AB的中点，CE＝1， ∴BE＝CE，AB＝2CE＝2.∵＝，设BC＝3x，则CD＝2x. ∵在Rt△ACD中，tan D＝2，∴＝2，∴AC＝4x. 在Rt△ACB中，由勾股定理，得AB＝5x，∴5x＝2，∴x＝， ∴AD＝＝2x＝. ∵BE＝CE，∴∠ABC＝∠ECB.在Rt△ABC中，AC＝，AB＝2， ∴sin∠ABC＝，∴sin∠ECB＝.故sin∠ECB的值为，AD的长为. ⁠利用等角转换法求锐角三角函数的值 4.如图所示，在边长为1的小正方形网格图中，点A，B，C，D都在这些小正方形的顶点上，AB，CD相交于点O，则cos∠AOD＝ 　　⁠. 　 5.如图所示，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8，BC＝6，CD⊥AB，垂足为点D，求tan∠BCD的值. 解：∵∠ACB＝90°， ∴∠ACD＋∠BCD＝90°. ∵CD⊥AB，∴∠CDA＝90°， ∴∠ACD＋∠A＝90°， ∴∠A＝∠BCD. 在Rt△ABC中，AC＝8，BC＝6，∴tan A＝＝＝， ∴tan∠BCD＝tan A＝，∴tan∠BCD的值为. 解：∵AD，CE是△ABC的高，∴∠ADB＝∠CEB＝90°. ∵∠B＝∠B，∴△ADB∽△CEB， ∴＝，即＝. ∵∠B＝∠B，∴△DBE∽△ABC， ∴∠ACB＝∠DEB.设CD＝x，则DB＝BC－CD＝6－x.在Rt△ABD中， AD2＝AB2－DB2.在Rt△ACD中，AD2＝AC2－CD2，∴AB2－DB2＝AC2－CD2. ∵AB＝4，AC＝5，∴42－（6－x）2＝52－x2，解得x＝. 在Rt△ACD中，cos∠ACB＝＝＝. 6.如图所示，在△ABC中，AD，CE是高，AB＝4，AC＝5，BC＝6，连接DE，求cos∠DEB. ∵∠ACB＝∠DEB，∴cos∠DEB＝. ⁠构造直角三角形求锐角三角函数的值 7.如图所示，在△ABC中，tan C＝，点D在边BC上，AB＝AD，CD＝2BD＝4，求sin B的值. 解：如图所示，过点A作AE⊥BD于点E. ∵AB＝AD，CD＝2BD＝4， ∴BD＝CD＝2，∴BE＝DE＝1，∴CE＝CD＋ED＝5. ∵tan C＝，∴在Rt△AEC中，＝， ∴AE＝3， ∴AB＝＝＝， ∴sin B＝＝＝. 8.如图所示，在Rt△BAD中，延长斜边BD到点C，使DC＝BD，连接AC，若tan B＝.求tan∠CAD的值. 解：如图所示，作CE⊥AD，交AD的延长线于点E， ∴∠CED＝90°.又∵∠BAD＝90°，∠ADB＝∠CDE， ∴△CDE∽△BDA. ∵DC＝BD，∴＝＝＝. ∵tan B＝，∴设AD＝5x，则AB＝3x， ∴CE＝x，DE＝x，AE＝AD＋DE＝x， ∴tan∠CAD＝＝. 9.如图所示，在6×6的正方形方格纸中，∠BAC的顶点在格点上. （1）直接写出tan∠BAC＝ 　　⁠. 　 （2）仅用直尺，画出∠BAC的平分线AP，并写出tan∠PAC＝ 　　⁠. 　 $$