第25章 专题二 相似三角形的基本模型-(习题课件)【优+学案】2023-2024学年九年级上册数学课时通(冀教版)

年级上册·JJ 数 学 第二十五章　图形的相似 专题二　相似三角形的基本模型 ⁠“ A ”字型 1.如图所示，在△ABC中，BE平分∠ABC交AC于点E，过点E作ED∥BC交AB于点D. （1）求证：AE·BC＝BD·AC. 解：（1）证明：∵BE平分∠ABC，∴∠ABE＝∠CBE. ∵DE∥BC，∴∠DEB＝∠CBE， ∴∠ABE＝∠DEB，∴BD＝DE. ∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC， ∴＝，∴＝， ∴AE·BC＝BD·AC. （2）如果S△ADE＝3，S△BDE＝2，DE＝6，求BC的长. 解：（2）设△ABE中AB边上的高为h. ∴＝＝＝. ∵DE∥BC， ∴＝，∴＝，∴BC＝10. 2.如图所示，已知在△ABC中，CE⊥AB于点E，BF⊥AC于点F，连接EF.求证：△AEF∽△ACB. 证明：∵CE⊥AB，BF⊥AC， ∴∠AEC＝∠AFB＝90°. ∵∠A是公共角， ∴△ACE∽△ABF，∴＝， ∴＝.又∵∠A是公共角， ∴△AEF∽△ACB. ⁠“ X ”字型及其变形 3.如图所示，AE与BD相交于点C，连接AB，DE，已知AC＝5，BC＝3，EC＝10，DC＝6.求证：AB∥DE. 证明：∵＝＝，＝＝， ∴＝. ∵∠ACB＝∠ECD， ∴△ABC∽△EDC，∴∠A＝∠E， ∴AB∥DE. 4.如图所示，已知∠ADE＝∠ACB，BD＝4.2，CE＝2.4，CF＝2，求DF的长. 解：∵∠ADE＝∠ACB，∴180°－∠ADE＝180°－∠ACB， 即∠BDF＝∠ECF. 又∵∠BFD＝∠EFC， ∴△BDF∽△ECF， ∴＝，即＝，DF＝3.5. ⁠“ 子母 ”型 5.如图所示，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD是斜边AB上的高，AD＝9，BD＝4，求CD和AC的长. 解：∵∠A＋∠ACD＝90°，∠ACD＋∠BCD＝90°， ∴∠A＝∠BCD. ∵∠ADC＝∠CDB＝90°，∴△CBD∽△ACD. ∴＝. ∵AD＝9，BD＝4， ∴CD＝＝＝6. ∴AC＝＝＝3. 6.如图所示，在△ABC中，点D在边AB上，满足∠ACD＝∠ABC，若AC＝，AD＝1，求DB的长. 解：∵∠ACD＝∠ABC， ∠A＝∠A， ∴△ACD∽△ABC， ∴＝. ∵AC＝，AD＝1， ∴＝，∴AB＝3， ∴DB＝AB－AD＝3－1＝2. ⁠“ 旋转 ”型 7.如图所示，∠1＝∠2，AB·AD＝AC·AE，求证：△ABC∽△AED. 证明：∵∠1＝∠2，∠1＋∠EAC＝∠BAC，∠2＋∠EAC＝∠EAD， ∴∠BAC＝∠EAD.∵AB·AD＝AC·AE，即＝，∴△ABC∽△AED. 8.如图所示，在△ABC与△ADE中，∠C＝∠E，∠1＝∠2，AC＝AD＝2AB＝6，求AE的长. 解：∵∠1＝∠2， ∴∠CAB＝∠EAD. 又∵∠C＝∠E， ∴△ABC∽△ADE， ∴＝. ∵AC＝AD＝2AB＝6， ∴AB＝3，∴＝，∴AE＝12. ⁠“ 一线三等角 ”型 9.（1）尝试：如图①所示，已知A，E，B三点在同一直线上，且∠A＝∠B＝∠DEC＝90°. 求证：△ADE∽△BEC. 解：（1）证明：∵∠A＝∠DEC＝90°， ∴∠DEA＋∠D＝90°，∠DEA＋∠CEB＝90°. ∴∠D＝∠CEB. 又∵∠A＝∠B，∴△ADE∽△BEC. （2）一名同学做完上题后还发现：如图②，③所示，只要A，E，B三点在同一直线上，且∠A＝∠B＝∠DEC，则（1）中的结论总成立.你同意吗？请选择其中之一说明理由. 解：（2）同意.答案不唯一，不妨选择图②.理由如下：∵∠A＝∠DEC，∠DEC＋∠CEB＝∠A＋∠D，∴∠D＝∠CEB. 又∵∠A＝∠B，∴△ADE∽△BEC. $$