第4章 专题五 相似三角形的基本模型-(习题课件)【优+学案】2023-2024学年九年级上册数学课时通(北师大版)

年级上册·BS 数 学 第四章　图形的相似 专题五　相似三角形的基本模型 ⁠“A”字型 ⁠1.必考题 如图所示，在△ABC中，BE平分∠ABC交AC于点E，过点E作ED∥BC交AB于点D. （1）求证：AE·BC＝BD·AC. 解：（1）证明：∵BE平分∠ABC，∴∠ABE＝∠CBE.∵DE∥BC， ∴∠DEB＝∠CBE， ∴∠ABE＝∠DEB， ∴BD＝DE. ∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC， ∴＝，∴AE·BC＝BD·AC. （2）如果S△ADE＝3，S△BDE＝2，DE＝6，求BC的长. 解：（2）设△ABE的边AB上的高为h. ∴＝＝＝.∴＝. ∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC， ∴＝，∴＝，∴BC＝10. 2.如图所示，在△ABC中，AC＝8 cm，BC＝16 cm，点P从点A出发，沿着AC边向点C以1 cm/s的速度运动，点Q从点C出发，沿着CB边向点B以2 cm/s的速度运动，如果P与Q同时出发，经过几秒△PQC和△ABC相似？ 解：设经过x s，两三角形相似，则AP＝x cm，CP＝AC－AP＝（8－x） cm，CQ＝2x cm. ①当CP与CA是对应边时，＝， 即＝，解得x＝4. ②当CP与BC是对应边时，＝，即＝，解得x＝.故经过4 s或 s，△PQC和△ABC相似. ⁠旋转型 3.如图①所示，在等腰直角三角形ADC中，∠ADC＝90°，AD＝4.点E是AD的中点，以DE为边作正方形DEFG，连接AG，CE.将正方形DEFG绕点D顺时针旋转，旋转角为α（0°＜α＜90°）. （1）如图②所示，在旋转过程中， ①判断△AGD与△CED是否全等，并说明理由. ②当CE＝CD时，AG与EF交于点H，求GH的长. 解：（1）①△AGD≌△CED.理由：∵四边形EFGD是正方形， ∴DG＝DE，∠GDE＝90°. ∵DA＝DC，∠ADC＝90°， ∴∠GDE＝∠ADC，∴∠ADG＝∠CDE， ∴△AGD≌△CED（SAS）. ②如图①所示，过点A作AT⊥GD于点T.∵△AGD≌△CED，CD＝CE， ∴AD＝AG＝4.∵AT⊥GD，∴TG＝TD＝1，∴AT＝＝. ∵EF∥DG，∴∠GHF＝∠AGT. ∵∠F＝∠ATG＝90°，∴△GFH∽△ATG， ∴＝，∴＝，∴GH＝. （2）如图③所示，延长CE交直线AG于点P. 求证：AG⊥CP. 解：（2）证明：如图②所示，设AD交PC于点O. ∵△AGD≌△CED， ∴∠DAG＝∠DCE. ∵∠DCE＋∠COD＝90°， ∠COD＝∠AOP， ∴∠AOP＋∠DAG＝90°， ∴∠APO＝90°，∴CP⊥AG. ⁠垂直型 4.如图所示，在矩形ABCD中，已知AD＞AB.在边AD上取点E，连接CE.过点E作EF⊥CE，与边AB的延长线交于点F. （1）证明：△AEF∽△DCE. 解：（1）证明：∵四边形ABCD是矩形， ∴∠A＝∠D＝90°， ∴∠AEF＋∠F＝90°. ∵EF⊥CE，∴∠CED＋∠AEF＝90°， ∴∠CED＝∠F，∴△AEF∽△DCE. （2）若AB＝3，AE＝4，AD＝10，求线段BF的长. 解：（2）∵△AEF∽△DCE，∴＝. ∵AB＝CD＝3，AE＝4，AD＝10， ∴DE＝6，∴＝，∴BF＝5， ∴线段BF的长为5. 5.如图所示，在平面直角坐标系中，点P的坐标为（0，4），直线y＝x－3与x轴，y轴分别交于点A，B，点M是直线AB上的一个动点，求PM长的最小值. 解：如图所示，过点P作PM⊥AB， 则∠PMB＝90°， 当PM⊥AB时，PM的长最小.因为直线y＝x－3与x轴，y轴分别交于点A，B，可得点A的坐标为（4，0），点B的坐标为（0，－3）.在Rt△AOB中，AO＝4，BO＝3，AB＝＝5.∵∠BMP＝∠AOB＝90°，∠B＝∠B，∴△PBM∽△ABO， ∴＝.∵PB＝OP＋OB＝7，∴＝，可得PM＝，∴PM长的最小值为. ⁠一线三等角型 6.如图所示，在边长为9的正三角形ABC中，点D在BC边上且BD＝3，点E在AC边上且∠ADE＝60°，求AE的长. 解：∵△ABC是等边三角形，∴∠B＝∠C＝60°，AB＝BC，∴CD＝BC－BD＝9－3＝6，∴∠BAD＋∠ADB＝120°. ∵∠ADE＝60°，∴∠ADB＋∠EDC＝120°，∴∠BAD＝∠EDC.又∵∠B＝∠C＝60°，∴△ABD∽△DCE，则＝，即＝，解得CE＝2. 故AE＝AC－CE＝9－2＝7. 7.（1）如图①所示，已知A，E，B三点在同一直线上，且∠A＝∠B＝∠DEC＝90°，求证：△ADE∽△BEC. 解：（1）证明：∵∠A＝∠B＝∠DEC＝90°， ∴∠DEA＋∠CEB＝90°，∠DEA＋∠D＝90°，∴∠D＝∠CEB，∴△ADE∽△BEC. （2）一位同学在