第2章 专题三 一元二次方程根的判别式的应用-(习题课件)【优+学案】2023-2024学年九年级上册数学课时通(北师大版)

年级上册·BS 数 学 第二章　一元二次方程 专题三　一元二次方程根的判别式的应用 ⁠不解方程直接判断根的情况 1.不解方程，判断下列方程根的情况： （1）y2－2y＋1＝0； 解：y2－2y＋1＝0， ∵Δ＝（－2）2－4×1×1＝0， ∴此方程有两个相等的实数根. （2）（2x－1）2＋x（x＋2）＝0. 解：（2x－1）2＋x（x＋2）＝0， 方程可变形为5x2－2x＋1＝0. ∵Δ＝（－2）2－4×5×1＝－16＜0， ∴此方程没有实数根. 2.已知a，b，c分别是三角形的三条边长，不解方程，判断方程（a＋b）x2＋2cx＋（a＋b）＝0的根的情况. 解：Δ＝（2c）2－4（a＋b）2＝4（c＋a＋b）（c－a－b）.∵a，b，c分别是三角形的三条边长， ∴a＋b＞c，a＋b＋c＞0，∴c－a－b＜0， ∴4（c＋a＋b）（c－a－b）＜0，即Δ＜0， ∴方程（a＋b）x2＋2cx＋（a＋b）＝0没有实数根. ⁠根据方程根的情况，确定待定系数的取值范围 3.已知关于x的一元二次方程（m－2）2x2＋（2m＋1）x＋1＝0. （1）当m为何值时，方程有两个不相等的实数根？ 解：（1）由题意知，Δ＝（2m＋1）2－4（m－2）2＞0，∴20m－15＞0，∴m＞.∵m－2≠0，∴m≠2，故m的取值范围是m＞且m≠2. （2）当m为何值时，方程有两个相等的实数根？ 解：（2）由题意知，Δ＝（2m＋1）2－4（m－2）2＝0，∴20m－15＝0，∴m＝.∵m－2≠0，∴m≠2，故m的值是m＝. （3）当m为何值时，方程没有实数根？ 解：（3）由题意知，Δ＝（2m＋1）2－4（m－2）2＜0，20m－15＜0，∴m＜.∵m－2≠0， ∴m≠2，故m的取值范围是m＜. 4.若关于x的方程kx2－（k＋1）x＋＝0有两个不相等的实数根. （1）求k的取值范围. 解：（1）∵关于x的方程kx2－（k＋1）x＋＝0有两个不相等的实数根， ∴Δ＞0且k≠0，即[－（k＋1）]2－4k×＞0且k≠0，解得k＞－且k≠0. （2）是否存在实数k，使方程的一个实数根是1？若存在，求出k的值；若不存在，说明理由. 解：（2）存在.若方程的一个实数根是1，则k－（k＋1）＋＝0，解得k＝4，符合条件. 即当k＝4时，方程有一个实数根为1. ⁠证明含字母系数的方程有实数根或无实数根 5.已知关于x的一元二次方程x2－mx－2m2＝0. （1）求证：不论m为何值，该方程总有两个实数根. 解：（1）证明：∵a＝1，b＝－m，c＝－2m2， ∴b2－4ac＝（－m）2－4×1×（－2m2）＝9m2. ∵不论m为何值，总有m2≥0，即9m2≥0，∴b2－4ac≥0，∴不论m为何值，该方程总有两个实数根. （2）若x＝1是该方程的根，求代数式4m2＋2m＋5的值. 解：（2）因为x＝1是x2－mx－2m2＝0的根，所以1－m－2m2＝0，即2m2＋m＝1，所以4m2＋2m＋5＝2（2m2＋m）＋5＝2×1＋5＝7. 6.已知方程x2＋2x－m＋1＝0没有实数根，求证：方程x2＋mx＝1－2m一定有两个不相等的实数根. 证明：∵方程x2＋2x－m＋1＝0没有实数根， ∴Δ＝22－4（－m＋1）＜0，∴4m＜0，∴m＜0. ∵方程x2＋mx＝1－2m可化为x2＋mx＋2m－1＝0，∴Δ＝m2－8m＋4.∵m2≥0，－8m＞0， ∴m2－8m＋4＞0，∴Δ＞0，∴方程x2＋mx＝1－2m一定有两个不相等的实数根. ⁠应用根的判别式判断三角形的形状 7.已知a，b，c为三角形三边长，且方程b（x2－1）－2ax＋c（x2＋1）＝0有两个相等的实数根.试判断此三角形的形状，并说明理由. 解：此三角形为直角三角形.理由：方程整理，得（b＋c）x2－2ax－（b－c）＝0.∵方程有两个相等的实数根， ∴Δ＝4a2－4（b＋c）·[－（b－c）]＝0， ∴a2＋b2＝c2，∴此三角形为直角三角形. ⁠判别式与几何知识的综合应用 8.在等腰三角形ABC中，三条边分别是a，b，c，其中b＝5.若关于x的一元二次方程x2＋（a＋2）x－a＋7＝0有两个相等的实数根，求△ABC的周长. 解：∵方程有两个相等的实数根，∴Δ＝0，即（a＋2）2－4×1×＝0， ∴a2＋5a－24＝0， ∴a1＝－8，a2＝3.∵a是正数，∴a＝3. 在等腰三角形ABC中， ①当b＝5为底时，则a＝c＝3，此时△ABC的周长为3＋3＋5＝11. ②当b＝5为腰时，c＝b＝5.此时△ABC的周长为5＋5＋3＝13.综上可知△ABC的周长为11或13. 9.已知关于x的一元二次方程x2＋（2m＋1）x＋m2－4＝0. （1）若此方程有两个不相等的实数根，求m的取值范围. 解：（1）∵方程x2＋（2m＋1）x＋