第1章 专题一 矩形中的折叠问题-(习题课件)【优+学案】2023-2024学年九年级上册数学课时通(北师大版)

年级上册·BS 数 学 第一章　特殊平行四边形 专题一　矩形中的折叠问题 ⁠求角度 1.如图所示，在矩形ABCD中，点E在边CD上，将该矩形沿AE折叠，恰好使点D落在边BC上的点F处，若∠BAF＝60°，则∠DAE的大小为（　B　） A.10° B.15° C.20° D.25° 第1题图 B 2.如图所示，将矩形ABCD沿EF折叠，使点B落在AD边上的点G处，点C落在点H处，已知∠DGH＝30°，连接BG，则∠AGB的度数为 　75°　⁠. 第2题图 75°　 ⁠求线段的长 3.如图所示，在矩形纸片ABCD中，AD＝4 cm，把纸片沿直线AC折叠，点B落在点E处，AE交DC于点O，若OC＝5 cm，则CD的长为（　C　） A.6 cm B.7 cm C.8 cm D.10 cm 第3题图 C 4.如图所示，E为矩形ABCD的边AB上一点，将矩形沿CE折叠，使点B恰好落在ED上的点F处，若BE＝1，BC＝3，则CD的长为（　B　） A.6 B.5 C.4 D.3 第4题图 B ⁠求面积 5.如图所示，把矩形ABCD沿EF翻折，点B恰好落在AD边的B'处，若AE＝2，DE＝6，∠EFB'＝60°，则矩形ABCD的面积是（　D　） A.12 B.24 C.12 D.16 第5题图　 D 6.如图所示，在矩形ABCD中，AD＝12，点E是AB边上的点，AE＝5，点P在AD边上，将△AEP沿EP折叠，使得点A落在点A'的位置，连接A'D，当点A'与点D的距离最短时，△A'PD的面积为 　　⁠. 第6题图 　 ⁠说明数量及位置关系 7.如图所示，将矩形纸片ABCD沿对角线BD折叠，点C落在点E处，BE交AD于点F，连接AE. 求证：（1）BF＝DF. 证明：（1）由折叠的性质，得CD＝ED，BE＝BC. ∵四边形ABCD是矩形， ∴AD＝BC，AB＝CD，∠BAD＝90°，∴AB＝DE，BE＝AD.又∵BD＝BD，∴△ABD≌△EDB（SSS），∴∠EBD＝∠ADB，∴BF＝DF. （2）AE∥BD. 证明：（2）∵AD＝BE，AB＝DE，AE＝AE，∴△AED≌△EAB（SSS），∴∠AEB＝∠EAD＝（180°－∠AFE）.由（1）知，∠EBD＝∠ADB＝（180°－∠BFD），而∠AFE＝∠BFD，∴∠AEB＝∠EBD，∴AE∥BD. ⁠证明图形的形状 8.如图①所示，将一张矩形纸片ABCD沿着对角线BD向上折叠，顶点C落到点E处，BE交AD于点F. （1）求证：△BDF是等腰三角形. 解：（1）证明：根据折叠的性质， 得∠DBC＝∠DBE.又∵AD∥BC， ∴∠DBC＝∠ADB， ∴∠DBE＝∠ADB，∴DF＝BF， ∴△BDF是等腰三角形. （2）如图②所示，过点D作DG∥BE，交BC于点G，连接FG交BD于点O. ①判断四边形BFDG的形状，并说明理由； ②若AB＝6，AD＝8，求FG的长. 解：（2）①四边形BFDG是菱形.理由： ∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，∴FD∥BG.又∵DG∥BE， ∴四边形BFDG是平行四边形.∵DF＝BF，∴四边形BFDG是菱形. ②∵AB＝6，AD＝8，由勾股定理，得BD＝10.∴OB＝BD＝5.设DF＝BF＝x， 则AF＝AD－DF＝8－x.在Rt△ABF中，AB2＋AF2＝BF2， 即62＋（8－x）2＝x2，解得x＝， 即BF＝，∴FO＝＝＝，∴FG＝2FO＝. ⁠平面直角坐标系中的折叠问题 9.如图所示，OABC是一张放在平面直角坐标系中的矩形纸片，O为原点，点A在x轴的正半轴上，点C在y轴的正半轴上，OA＝5，OC＝4.在OC 边上取一点D，将纸片沿AD翻折，使点O落在BC边上的点E处. （1）求E，D两点的坐标. 解：（1）依题意可知，折痕AD是四边形OAED的对称轴. 在Rt△ABE中，AE＝AO＝5，AB＝4， 由勾股定理，得BE＝＝3，CE＝BC－BE＝5－3＝2，∴E（2，4）. 在Rt△DCE中，由勾股定理，得DC2＋CE2＝DE2. ∵DE＝OD，CD＝4－OD，∴（4－OD）2＋22＝OD2，解得OD＝，∴D. （2）取AB的中点M，在y轴上是否存在点P，使得△PEM是等腰三角形？若存在，请求出P点的坐标；若不存在，请说明理由. 解：（2）存在.如图所示， △PEM是等腰三角形时，分情况讨论如下： 当EP＝EM时，∵M是AB的中点， ∴BM＝2＝CE. 在Rt△CEP1与Rt△BME中，∵ ∴Rt△CEP1≌Rt△BME（HL）， ∴CP1＝BE＝3，∴OP1＝1，∴P1（0，1）. 同理可得CP2＝BE＝3，∴OP2＝7，∴P2（0，7）. 当PE＝PM时，此时点P在EM的垂直平分线上.设P点坐标为（0，－a）（a＞0）. ∵E（2，4），