第1章 专题二 特殊平行四边形中的最值问题-(习题课件)【优+学案】2023-2024学年九年级上册数学课时通(北师大版)

年级上册·BS 数 学 第一章　特殊平行四边形 专题二　特殊平行四边形中的最值问题 ⁠和菱形有关的最值问题 1.如图所示，由两个长为9，宽为3的全等矩形叠合而得到四边形ABCD，则四边形ABCD面积的最大值是（　A　） A.15 B.16 C.19 D.20 第1题图 A 2.如图所示，菱形ABCD的对角线AC长为8，点P是对角线AC上的一个动点，点M，N分别是边AB，BC的中点，PM＋PN的最小值是5，则菱形的边长等于 　5　⁠. 第2题图 5　 3.如图所示，在边长为4的菱形ABCD中，BD＝4，E，F分别是边AD，CD上的动点，且AE＋CF＝4，连接BE，EF，FB. （1）求证：BE＝BF. 解：（1）证明：∵四边形ABCD是边长为4的菱形，BD＝4，∴△ABD，△CBD都是边长为4的等边三角形.∵AE＋CF＝4，∴CF＝4－AE＝AD－AE＝DE.在△BDE和△BCF中， ∵ ∴△BDE≌△BCF（SAS），∴BE＝BF. （2）求△BEF面积的最小值. 解：（2）∵△BDE≌△BCF，∴∠EBD＝∠FBC， ∴∠EBD＋∠DBF＝∠FBC＋∠DBF， ∴∠EBF＝∠DBC＝60°.又∵BE＝BF， ∴△BEF是等边三角形， ∴EF＝BE＝BF.当BE⊥AD，即E为AD的中点时，BE有最小值＝2，此时△BEF的面积为×＝3. ⁠和矩形有关的最值问题 4.如图所示，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝6，AC＝8，P为边BC上一动点，PE⊥AB于点E，PF⊥AC于点F，点M为EF的中点，则AM的最小值是（　B　） A.2.5 B.2.4 C.2 D.3 第4题图 B 5.矩形OABC在平面直角坐标系中的位置如图所示，点B的坐标为（3，4），D是OA的中点，点E在AB上，当△CDE的周长最小时，点E的坐标为 　　⁠. 第5题图 　 6.如图所示，∠MON＝90°，矩形ABCD的顶点A，B分别在边OM，ON上，当点B在边ON上运动时，点A随之在边OM上运动，矩形ABCD的形状保持不变，其中AB＝2，BC＝1，求运动过程中，点D到点O的最大距离. 解：如图所示，取AB的中点E，连接OE，DE，OD.∵OD≤OE＋DE，∴当O，D，E三点共线时，点D到点O的距离最大，此时OD＝OE＋DE.∵AB＝2，BC＝1， ∴OE＝AE＝AB＝1， DE＝＝＝， ∴OD的最大值为＋1. ⁠和正方形有关的最值问题 7.如图所示，正方形ABCD的面积为12，△ABE是等边三角形，点E在正方形ABCD内，在对角线AC上有一点P，若使PD＋PE的和最小，则这个最小值为（　B　） A. B.2 C.3 D.2 第7题图 B 8.如图所示，平面内三点A，B，C，AB＝4，AC＝3，以BC为对角线作正方形BDCE，连接AD，则AD的最大值是（　D　） A.5 B.7 C.7 D. 第8题图 D 9.（2022·江苏泰州中考）如图所示，正方形ABCD的边长为2，E为与点D不重合的动点，以DE为一边作正方形DEFG.设DE＝d1，点F，G与点C的距离分别为d2，d3，则d1＋d2＋d3的最小值为（　C　） A. B.2 C.2 D.4 第9题图 C 10.如图所示，M，N是正方形ABCD的边CD上的两个动点，满足AM＝BN，连接AC交BN于点E，连接DE交AM于点F，连接CF，若正方形的边长为6，则线段CF的最小值是 　3－3　⁠. 第10题图 3－3　 11.（1）如图①所示，已知正方形ABCD的边长为4，点M，N分别是边BC，CD上两点，且BM＝CN，连接AM和BN，交于点P.猜想AM与BN的位置关系，并证明你的结论. 解：（1）结论：AM⊥BN. 证明：∵四边形ABCD是正方形， ∴AB＝BC，∠ABM＝∠BCN＝90°. ∵BM＝CN，∴△ABM≌△BCN（SAS）， ∴∠BAM＝∠CBN. ∵∠CBN＋∠ABN＝90°， ∴∠ABN＋∠BAM＝90°， ∴∠APB＝90°，∴AM⊥BN. （2）如图②所示，已知正方形ABCD的边长为4.点M，N分别从点B，C同时出发，以相同的速度沿BC，CD方向向终点C和D运动，连接AM和BN，交于点P.求△APB周长的最大值. 解：（2）如图所示，以AB为斜边向外作等腰直角三角形AEB，∠AEB＝90°，作EF⊥PA于点F，作EG⊥PB交PB的延长线于点G，连接EP.∵∠EFP＝∠FPG＝∠G＝90°，∴四边形EFPG是矩形， ∴∠FEG＝∠AEB＝90°，∴∠AEF＝∠BEG. 又∵∠EFA＝∠G＝90°，EA＝EB， ∴△AEF≌△BEG（AAS），∴EF＝EG，AF＝BG， ∴四边形EFPG是正方形， ∴PA＋PB＝PF＋AF＋PG－BG＝2PF＝2EF. ∵EF≤AE，∴EF的最大