第03讲 基本不等式-2023-2024学年高一数学秋季讲义（人教A版2019必修第一册）

第03讲 基本不等式 【人教A版2019】 ·模块一 基本不等式 ·模块二 基本不等式的应用 ·模块三 课后作业 模块一 基本不等式 1．均值定理 均值定理：如果a、b∈R+(R+表示正实数)，那么≥，当且仅当a=b时，式中等号成立. 此定理又称均值不等式或基本不等式. 2．基本不等式推广：≥≥. 叫做a和b的平方平均值，叫做算术平均值，叫做几何平均值. 3．基本元素为ab，a+b，a2+b2；其中一个为定值，都可以求其它两个的最值. 4．利用基本不等式求最值的条件 (1)“一正”：即求最值的两式必须都是正数. (2)“二定”：要求和a+b的最小值，则乘积ab须是定值；要求乘积ab的最大值，则和a+b须是定值. 特殊情况下，至少要求各项的和、积是一个可化简的定式. (3)“三相等”：只有满足不等式中等号成立的条件，才能使式子取到最大或最小值. (4)“四同时”：多次使用基本不等式时，需同时满足每个等号成立的条件. 【考点1 基本不等式链】 【例1.1】（2023·全国·高三专题练习）下列不等式恒成立的是（    ） A． B． C． D． 【例1.2】（2023春·上海宝山·高三校考开学考试）下列定理中，被称为幂的基本不等式的是（    ） A．如果，且，那么 B．对任意的实数a和b，总有，且等号当且仅当时成立 C．对任意的正实数a和b，总有，且等号当且仅当时成立 D．当，时， 【变式1.1】（2023·全国·高三专题练习）若，则下列关系正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式1.2】（2023·全国·高一假期作业）已知a、b为正实数，，则（    ） A． B． C． D． 模块二 基本不等式的应用 1．最值定理 最值定理：两个正数的乘积为常数，则两数相等时，它们的和取得最小值；两个正数的和为常数，则两数相等时，它们的乘积取得最大值. 即已知x，y都是正数， (1)如果积xy等于定值P，那么当x＝y时，和x＋y有最小值2； (2)如果和x＋y等于定值S，那么当x＝y时，积xy有最大值S2. 温馨提示：从上面可以看出，利用基本不等式求最值时，必须有：(1)x、y>0，(2)和(积)为定值，(3)存在取等号的条件． 2．利用基本不等式求最值 (1)利用基本不等式求两个正数和的最小值时，关键在于构造条件，使其积为常数.通常要通过添加常数、凑分母等方式进行构造，求两个正数积的最大值也有类似的凑定值的技巧. (2)已知ax+by=c，求的最小值；或者已知，求ax+by的最小值.(a,b,c,d,e为正常数，x,y>0) 对于上述问题，我们可以转化为求的最小值. 【考点2 直接求最值】 【例2.1】（2023春·新疆巴音郭楞·高二校考期末）若x>0，则的最小值为（    ） A． B． C．1 D．2 【例2.2】（2023·全国·高三专题练习）当时，的最大值为（    ） A． B． C． D． 【变式2.1】（2023春·广东揭阳·高一统考期末）设，则函数的最小值为（    ） A．6 B．7 C．11 D．12 【变式2.2】（2023·全国·高三专题练习）已知，则的最大值为（　　） A．2 B．4 C．5 D．6 【考点3 凑定值求最值】 【例3.1】（2023春·新疆哈密·高二校考期末）若，则的最值情况是（    ） A．有最大值 B．有最小值6 C．有最大值 D．有最小值2 【例3.2】（2023·全国·高三专题练习）已知，则函数 的最大值是（　　） A． B． C． D． 【变式3.1】（2023·全国·高一专题练习）若，则取最大值时x的值是（    ） A． B． C． D． 【变式3.2】（2023春·河南信阳·高一统考期末）当时， 的最小值为10，则（    ） A．1 B． C．2 D．4 【考点4 巧用“1”的代换求最值】 【例4.1】（2023春·辽宁·高二校联考期末）已知，，且，则的最小值为（    ） A．2 B．1 C． D． 【例4.2】（2023春·山西·高一统考期末）已知正数a，b满足，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【变式4.1】（2023·全国·高三专题练习）已知正数满足，则的最小值为（    ） A．36 B．42 C．49 D．6 【变式4.2】（2023春·重庆北碚·高二校考期末）已知，，，则的最小值为（    ） A．4 B． C． D． 【考点5 和积互化求最值】 【例5.1】（2023春·山东青岛·高二统考期末）已知正实数满足，则的最小值为（    ） A． B．16 C． D．8 【例5.2】（2023春·广西南宁·高一统考开学考试）若，且，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式5.1】（2023·全国·高三专