专题19 数列大题8类题型专项训练（解答题，文理通用）-备战2024年高考数学一轮复习考点帮（全国通用）

专题19 数列大题训练 题型一、等差、等比数列的应用 1．（2019年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅱ））已知是各项均为正数的等比数列，. （1）求的通项公式； （2）设，求数列的前项和. 2．已知等差数列中，，. (1)求的通项公式； (2)求数列的前项和. 3．记数列的前项和为，，，. (1)证明数列为等差数列，并求通项公式； (2)记，求. 4．（2023年云南省模拟考试数学试题）已知等差数列的前项和为，且． (1)求的通项公式； (2)试求出所有的正整数，使得对任意正整数，均有． 5．记等差数列的前n项和为，． (1)求数列的通项公式； (2)记，求数列的前n项和． 6．（2023年江西省模拟数学试题）已知正项等差数列前项和为，______，．请从条件①，；条件②，且，，成等比数列，两个条件中任选一个填在上面的横线上，并完成下面的两个问题． (1)求数列的通项公式； (2)记数列的前项和为，证明：． 7．（2018年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（天津卷））设是等差数列，其前项和为；是等比数列，公比大于0，其前项和为．已知，，，． （Ⅰ）求和； （Ⅱ）若，求正整数的值． 8．已知数列的前n项和为，满足，. (1)求数列的通项公式； (2)记，求数列的前100项的和. 题型二、分组求和法 1．（2023届新高考Ⅰ卷调研模拟考试数学试题）已知数列的首项，且满足. (1)求证：数列为等比数列： (2)若，求满足条件的最大整数. 2．（2023届河北省一模数学试题）设数列的前n项和为，且． (1)求的通项公式； (2)若，求数列的前n项和． 3．已知数列满足． (1)求数列的通项公式； (2)当时，求数列的前项和为． 4．（2023届安徽省联盟二模数学试题）已知首项为3的数列的前n项和为，且． (1)求证：数列为等比数列； (2)求数列的前n项和． 5．已知数列的前项和为，且对任意的有. (1)证明：数列为等比数列； (2)求数列的前项和. 6．已知等比数列满足，． (1)求数列的通项公式； (2)若，求数列的前项和． 题型三、错位相减法 1．（2023届安徽省、云南省、吉林省、黑龙江省适应性测试数学试题）记数列的前n项和为，且． (1)求数列的通项公式； (2)设m为整数，且对任意，，求m的最小值． 2．（2023年安徽省模拟数学试题）已知数列满足 (1)求证：数列是等比数列； (2)设，求的前项和 3．（2017年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（天津卷））已知为等差数列，前n项和为，是首项为2的等比数列，且公比大于0， . （Ⅰ）求和的通项公式； （Ⅱ）求数列的前n项和. 4．（2023年渝琼辽（新高考2卷）名校仿真模拟联考数学试题）已知数列的前n项和为，，且．，． (1)求数列和的通项公式； (2)若，求数列的前n项和． 5．已知数列为等差数列，，，数列的前n项和为，且满足． (1)求和的通项公式； (2)若，数列的前n项和为，且对恒成立，求实数m的取值范围． 6．（2023届广西摸底测试数学（理）试题）设数列的前项和为，且满足 (1)求数列的通项公式； (2)设数列满足，求数列的前项和. 题型四、裂项相消法 1．已知数列的前项和为，且有． (1)求数列的通项公式； (2)设为数列的前项和，证明：． 2．设数列的前n项和为，满足. (1)求数列的通项公式； (2)记，求数列的前n项和. 3．（2023届山西省联考数学试题）已知等差数列满足，，公比不为的等比数列满足，. (1)求与通项公式； (2)设，求的前n项和. 4．（2023届广东省二模数学试题）已知数列满足，. (1)证明数列是等比数列，并求数列的通项公式； (2)若，数列的前项和，求证：. 5．已知正项数列的前n项和为，且满足， (1)求 (2)求 6．（2015年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（新课标Ⅰ））为数列的前项和.已知＞0，=. （Ⅰ）求的通项公式； （Ⅱ）设 ,求数列的前项和. 7．（2018年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（天津卷））设是等比数列，公比大于0，其前项和为，是等差数列.已知，，，. （I）求和的通项公式； （II）设数列的前项和为， （i）求； （ii）证明. 题型五、并项求和法 1．（2020年天津市高考数学试题）已知为等差数列，为等比数列，． （Ⅰ）求和的通项公式； （Ⅱ）记的前项和为，求证：； （Ⅲ）对任意的正整数，设求数列的前项和． 2．（2019年天津市高考数学试卷（理科））设是等差数列，是等比数列.已知. （Ⅰ）求和的通项公式； （Ⅱ）设数列满足其中. （i）求数列的通项公式； （ii）求. 3．（2023年河南省模拟数学（文科）试题）已知数列满足，数列为等比数列且公比，满足. (1)求数