第二十二章 二次函数（压轴40题专练）-2023-2024学年九年级数学上册单元速记·巧练（人教版）

第二十二章 二次函数（压轴题专练） 一、填空题 1．（2023·湖北十堰·统考二模）若一个点的纵坐标是横坐标的2倍，则称这个点为二倍点，若在二次函数 (m为常数）的图象上存在两个二倍点，，且，则m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意得出纵坐标是横坐标的2倍总在直线上，、是方程的两个解，根据根与系数的关系得出，，根据根的判别式得出，根据，得出m取任意实数时，总成立，根据，得出，，即，得出，求出m的值即可． 【详解】解：∵纵坐标是横坐标的2倍总在直线上， ∴点，一定在直线上， 又∵点，在二次函数 (m为常数）的图象上， ∴、是方程的两个解， 即， ∴，， ， ∵， 又∵， ∴， ∴m取任意实数时，总成立， ∵， ∴，， ∴， 即， ∴， 解得：，故B正确． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了一次函数与二次函数的交点问题，一元二次方程根的判别式，根与系数的关系，解题的关键是根据题意得出、是方程的两个解，且． 2．（2023秋·重庆开州·九年级统考期末）已知两个多项式，，其中为任意实数．有下列结论： ①若，则一定为正数； ②若，则满足条件的的值有4个； ③若，则当时，式子取得最小值． 其中正确的结论个数有（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】C 【分析】可求，①即可求解；由可求，②即可求解；设，可得，从而可得，③即可求解． 【详解】解：，， ， ，即， ， ①正确； 即， 或都无实解， 无实数根， ②错； 设， 整理得： ， ， ， ， 当，取得最小值， 即：式子取得最小值． ③正确． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了一元一次不等式，判断一元二次方程根的个数，二次函数的最值，掌握判断方法及最值求法是解题的关键． 3．（2023·湖北黄冈·统考二模）已知二次函数的图像经过，下列结论：①若图像对称轴在y轴左侧，则；②是方程的一个根；③若图像与x轴的另一个交点在和之间，则；④点，在抛物线上，若，则当时，．其中正确结论的序号为（     ） A．①③④ B．①② C．②③ D．①②③ 【答案】D 【分析】根据抛物线的对称轴计算公式可判断①，根据二次函数与轴的交点判断一元二次方程的解，继而判断②，根据图像与x轴的另一个交点在和之间，可得抛物线与 轴的交点之间的距离大于3，利用韦达定理得到之间的关系，继而判断③，根据可得抛物线开口向上且与轴交于上半轴，利用二次函数的性质，即可判断④，继而得到答案． 【详解】解：二次函数的图像经过， ， 若图像对称轴在y轴左侧，则，故同号， 异号， ，故①正确； 根据可得， 有一个根为， 当时，成立， 是方程的一个根，故②正确； 若图像与x轴的另一个交点在和之间，则， ， ， 可得， 变形可得，故③正确； 若，则抛物线开口向上且与轴交于上半轴， ， ， 对称轴为， 时，的大小关系无法确定，故④错误； 故选：C． 【点睛】本题考查了二次函数的性质，二次函数与一元二次方程的关系，韦达定理，熟练运用韦达定理是解题的关键． 4．（2023·重庆渝中·重庆巴蜀中学校考一模）对于两个正整数a，，将这两个数进行如下操作：第一次操作：计算b与a的差的算术平方根，记作；第二次操作：计算b与的差的算术平方根，记作；第三次操作：计算b与的差的算术平方根，记作；……依次类推，若，则下列说法 ①当时，；    ②当时，； ③点一定在抛物线上； ④当，2，3，…，n时，对应b的值分别为，，，…，，若则n的值为42：其中正确的个数是（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】根据题意，首先找出a，b之间的关系式，然后逐个分析找出规律，即可得解. 【详解】由题意得， 且 ,, 则当时,, ∴①正确. 当时,或, ∴②错误. 将P的坐标代入抛物线得, ∴式子成立，③正确. 当时,. 当时,. 当时,. 当时,. 即 ， ， ， ， ∴. ∴④错误. 故选: . 【点睛】本题考查了规律性探索问题，解题时需要分析题意，学会转化，灵活变形. 5．（2023·河北沧州·统考模拟预测）如图，抛物线经过点、，则下列结论，正确的有（    ） ①若、在该抛物线上，当时，m的取值范围是；②若抛物线与y轴交于点，当时y的最大值与最小值的差为6，则n的值为或；③平面直角坐标系内，线段的端点为，，当抛物线与线段MN有交点时，a的取值范围是；④以为直径的圆与x轴下方抛物线有交点，则a的取值范围是．    A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【分析】运用抛物线的解析式，抛物线的图象性质，一元二次方程的求解，点与圆的位置关系求解． 【详解】∵拋物线上点、关于对称轴对称， ∴拋物线对称轴为直线， ∵拋物线开口向上， ∴当时，y随x的增大而增大，当时，y随