第二十二章 二次函数（B卷·培优卷·单元重点综合测试）-2024-2025学年九年级数学上册单元速记·巧练（人教版，江西专用）

第二十二章二次函数（B卷·培优卷） 班级___________ 姓名___________ 学号____________ 分数____________ 考试范围：全章的内容； 考试时间：120分钟； 总分：120分 一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 1．已知二次函数 ，关于该函数在﹣1≤x≤3的取值范围内，下列说法正确的是（　　） A．有最大值﹣1，有最小值-2 B．有最大值0，有最小值﹣1 C．有最大值7，有最小值﹣1 D．有最大值7，有最小值﹣2 解析：∵由 知当x=2，最小值为-2， 又∵x=-1与x=3关于x=2对称 故最大值为y=32-4×3+2=7 ， 故答案为：D 2．四位同学在研究函数y=ax2+bx+c(a、b、c为常数，且a≠0)时，甲发现当x=1时，函数有最大值；乙发现﹣1是方程ax2+bx+c=0的一个根；丙发现函数的最大值为﹣1；丁发现当x=2时，y=﹣2，已知四位中只有一位发现的结论时错误的，则该同学是（　　）. A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 【答案】B 【解析】解：四人的结论如下： 甲：b+2a=0，且a＜0，b＞0； 乙：a﹣b+c=0； 丙：a＜0，且 ，即：4ac﹣b2=﹣4a； 丁：4a+2b+c=﹣2. 由于甲、乙、丁正确，联立，解得：c=﹣2，a= ＞0，与甲矛盾，故其中必有一个错误，所以丙是正确的； 若甲乙正确，则：c=﹣3a，b=﹣2a，代入丙：﹣12a2﹣4a2=﹣4a，得：a= ＞0，与甲矛盾，故甲乙中有一个错，所以丁正确； 若乙正确，则b=a+c，代入丙：4ac﹣(a+c)2=﹣4a，化简，得：﹣(a﹣c)2=﹣4a，故a≥0，与丙中a＜0矛盾，故乙错误. 因此乙错误. 故答案为：B 3．将二次函数y=﹣x2+2x+3的图象在x轴上方的部分沿x轴翻折后，所得新函数的图象如图所示.当直线y=x+b与新函数的图象恰有3个公共点时，b的值为（　　） A． 或﹣3 B． 或﹣3 C． 或﹣3 D． 或﹣3 【答案】A 【解析】解：二次函数解析式为y=﹣x2+2x+3=﹣（x﹣1）2+4， ∴抛物线y=﹣x2+2x+3的顶点坐标为（1，4）， 当y=0时，x2﹣2x﹣3=0，解得x1=﹣1，x2=3， 则抛物线y=﹣x2+2x+3与x轴的交点为A（﹣1，0），B（3，0）， 把抛物线y=﹣x2+2x+3图象x轴上方的部分沿x轴翻折到x轴下方，则翻折部分的抛物线解析式为y=（x﹣1）2﹣4（﹣1≤x≤3），顶点坐标M（1，﹣4）， 如图，当直线y=x+b过点B时，直线y=x+b与该新图象恰好有三个公共点， ∴3+b=0，解得b=﹣3； 当直线y=x+b与抛物线y=（x﹣1）2﹣4（﹣1≤x≤3）相切时，直线y=x+b与该新图象恰好有三个公共点，即（x﹣1）2﹣4=x+b有相等的实数解，整理得x2﹣3x﹣b﹣3=0，△=32﹣4（﹣b﹣3）=0，解得b=﹣ ， 所以b的值为﹣3或﹣ . 故答案为：A. 4．将抛物线y=x2﹣4x+3向上平移至顶点落在x轴上，如图所示，则两条抛物线、对称轴和y轴围成的图形的面积S（图中阴影部分）是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【解析】解：∵抛物线y=ax2+bx+c经过点A（0，3），B（3，0），C（4，3）， ∴ ， 解得 ， ∴抛物线的函数表达式为y=x2﹣4x+3； ∴y=x2﹣4x+3=（x﹣2）2﹣1， ∴抛物线的顶点坐标为（2，﹣1）， ∴PP′=1， 阴影部分的面积等于平行四边形A′APP′的面积， 平行四边形A′APP′的面积=1×2=2， ∴阴影部分的面积=2． 故选B． 5．如图，一段抛物线：y=﹣x（x﹣5）（0≤x≤5），记为C1，它与x轴交于点O，A1；将C1绕点A1旋转180°得C2，交x轴于点A2；将C2绕点A2旋转180°得C3，交x轴于点A3；…如此进行下去，得到一“波浪线”，若点P（2018，m）在此“波浪线”上，则m的值为（　　） A．4 B．﹣4 C．﹣6 D．6 【答案】C 【解析】解：当y=0时，﹣x（x﹣5）=0，解得x1=0，x2=5，则A1（5，0）， ∴OA1=5， ∵将C1绕点A1旋转180°得C2，交x轴于点A2；将C2绕点A2旋转180°得C3，交x轴于点A3；…；如此进行下去，得到一“波浪线”， ∴A1A2=A2A3=…=OA1=5， ∴抛物线C404的解析式为y=（x﹣5×403）（x﹣5×404），即y=（x﹣2015）（x﹣2020）， 当x=2018时，y=（2018﹣2015）（2018﹣2020）=﹣6， 即m=﹣6． 故答案为：C 6．如图是抛物线y1=ax2＋bx＋c(a≠0)图象的一部分，抛物线的顶点坐标A(1，3)，与x轴的一个交点B(4，0)，直线y2=mx＋n(m≠0)与抛物线交于A，B两点，下列结论：①2a＋b=0；②abc>0；③方程ax2＋bx＋c=3有两个相等的实数根；④抛物线与x轴的另一个交点是(－1，0)；⑤当1<x<4时，有y2<y1，其中正确的是（　　） A． ①④⑤ B．①③④⑤ C．①③⑤ D．①②③ 【答案】C 【解析】解：①∵对称轴为：x=1， ∴ 则a=-2b，即2a+b=0，故①符合题意； ∵抛物线开口向下 ∴a＜0 ∵对称轴在y轴右侧， ∴b＞0 ∵抛物线与y轴交于正半轴 ∴c＞0 ∴abc<0，故②不符合题意； ∵抛物线的顶点坐标A（1，3） ∴方程ax2+bx+c=3有两个相等的实数根是x=1，故③符合题意； ∵抛物线对称轴是：x=1，B（4，0）， ∴抛物线与x轴的另一个交点是（-2，0）故④不符合题意； 由图象得：当1<x<4时，有y2<y1；故⑤符合题意． 故答案为C． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 7．若二次函数 的对称轴为直线 ，则关于 的方程 的解为　 　. 【答案】 ， 【解析】解： 二次函数 的对称轴为直线 因此方程为 所以可得 故答案为 ， . 8．在平面直角坐标系中，A点坐标为（﹣1，4），B点坐标为（5，4）．已知抛物线y=x2﹣2x+c与线段AB有公共点，则c的取值范围是　 　． 【答案】﹣11≤c≤5 【解析】解：∵y=x2﹣2x+c=（x﹣1）2+c﹣1， ∴抛物线开口向上，顶点坐标为（1，c﹣1），对称轴为直线x=1， 如图，当c﹣1=4时，c=5，抛物线顶点落在线段AB上，抛物线与线段AB刚好有一个交点，满足题意， c减小，图象向下移动，当抛物线经过点B时，抛物线和线段又只有一个交点，如图， 把（5，4）代入y=x2﹣2x+c得： 4=25﹣10+c， 解得c=﹣11， ∴﹣11≤c≤5满足题意． 故答案为：﹣11≤c≤5． 9．如图，四边形ABCO是正方形，顶点B在抛物线y=ax2（a＜0）的图象上，若正方形ABCO的边长为，且边OC与y轴的负半轴的夹角为15°，则a的值是 　 　． 【答案】 【解析】解：连接OB，过点B作BD⊥y轴，交y轴于点D，如下图： ∵四边形ABCD是正方形 ∴OB==2，∠BOC=45°； ∵∠DOC=15° ∴∠BOD=45°-15°=30° ∴BD=1，OD= ∴点B的坐标为（-1，-） 将点B的坐标代入抛物线的解析式，可得a=-. 故答案为：-. 10．对于一个函数，当自变量x取n时，函数值y等于4－n，我们称n为这个函数的“二合点”，如果二次函数y=mx2+x+1有两个相异的二合点x1，x2，且x1＜x2＜1，则m的取值范围是　 　． 【答案】﹣ ＜m＜0或m＞1 【解析】根据题意得： 整理得: ∵有两个相异的二合点 ∴ 得: ① 当m>0时，根据x1＜x2＜1，由求根公式得: 解得:m>l，m<0(舍去) ② 当m<0时，根据x1＜x2＜1,由求根公式得:. 解得:m<0，m>1(舍去) 综上所述:﹣ ＜m＜0或m＞1 故答案是：﹣ ＜m＜0或m＞1 11．某公司新产品上市30天全部售完，图①表示产品的市场日销售量与上市时间之间的关系，图②表示单件产品的销售利润与上市时间之间的关系，则最大日销售利润是　 　元． 【答案】1800 【解析】解：设日销售量y与销售天数t之间的函数关系式为y=kt， 把（30，60）代入得30k=60， 解得k=2， ∴日销售量y与销售天数t之间的函数关系式为y=2t， 当0<t≤20时，设单件的利润w与t之间的函数关系式为w=at， 把（20，30）代入得20a=30， 解得a=1.5， ∴当0<t≤20时，单件的利润w与t之间的函数关系式为w=1.5t， 当20<t≤30时，单件的利润w与t之间的函数关系式为w=30， 设日销售利润为m元， 当0<t≤20时，m=1.5t×2t=3t2， 故当t=20时，m取得最大值，此时m=1200， 当20<t≤30时，m=30×2t=60t， 故当t=30时，m取得最大值，此时m=1800， 综上所述，最大日销售利润为1800元. 故答案为：1800. 12．已知抛物线 ， ，若这两个抛物线与x轴共有3个交点，则a的值为　 　. 【答案】 ，1，3 【解析】解：∵ ∴抛物线 与x轴的交点坐标为（-1，0），（3，0）， ∵抛物线 ， 与x轴共有3个交点， ∴分三种情况： ①抛物线 与x轴有一个交点，则有： 解得： ②当抛物线 经过点（-1，0）时，则有： 解得， ③当抛物线 经过点（3，0）时，则有： 解得， 综上，两个抛物线与x轴共有3个交点时a的值有 ，1，3. 故答案为： ，1，3. 三、解答题（本大题共5小题，每小题6分，共30分） 13．在平面直角坐标系中，已知点A（2m+1，7）在抛物线y=x2﹣（m+2）x+m（m是常数）上． （1）求该二次函数的解析式； （2）当m＞0时，若抛物线y=x2﹣（m+2）x+m与直线y=x+n（n是常数）在第四象限内有两个交点，请求出n的取值范围． 【答案】（1）解：已知点A（2m+1，7）在抛物线y=x2﹣（m+2）x+m（m是常数）上， ∴7=（2m+1）2﹣（m+2）（2m+1）+m， 解得m=2 或 m=﹣2， ∴抛物线的解析式为y=x2﹣4x+2或y=x2﹣2； （2）解：当m＞0时，抛物线的解析式为：y=x2﹣4x+2 令 y=x2﹣4x+2=0， 解得x1=2+，x2=2﹣， ∴抛物线与x轴交点坐标为（2+，0），（2﹣，0）， 如图，当直线y=x+n经过（2+，0）时，2+=0， 解得n=﹣2﹣， 当直线 y=x+n与抛物线y=x2﹣4x+2只有1个公共点时， 于是得到x2﹣4x+2=x+n， 整理得：x2﹣5x+2﹣n=0， ∴Δ=52﹣4（2﹣n）=0，解得n=﹣， ∴n的取值范围是﹣＜n＜﹣2﹣． 14．如图，从某建筑物9米高的窗口A处用水管向外喷水，喷出的水成抛物线状（抛物线所在平面与墙面垂直），如果抛物线的最高点M离墙1米，离地面12米，建立平面直角坐标系，如图． （1）求抛物线的解析式； （2）求水流落地点B离墙的距离OB． 解：（1）根据题意，得A（0，9），顶点M（1，12）， 于是设抛物线解析式为y=a（x﹣1）2+12， 把A（0，9）代入，得9=a+12，解得a=﹣3， 所以抛物线的解析式为y=﹣3（x﹣1）2+12=﹣3x2+6x+9． 答：抛物线的解析式为y=﹣3x2+6x+9． （2）当y=0时，0=﹣3x2+6x+9，解得x1=3，x2=﹣1， 所以B（3，0）． 答：水流落地点B离墙的距离OB为3米． 15．如图，已知抛物线经过两点A（﹣3，0），B（0，3），且其对称轴为直线x=﹣1． （1）求此抛物线的解析式； （2）若点P是抛物线上点A与点B之间的动点（不包括点A，点B），求△PAB的面积的最大值，并求出此时点P的坐标． 【答案】（1）解：∵抛物线对称轴是直线x=﹣1且经过点A（﹣3，0） 由抛物线的对称性可知：抛物线还经过点（1，0） 设抛物线的解析式为y=a（x﹣x1）（x﹣x2）（a≠0） 即：y=a（x﹣1）（x+3） 把B（0，3）代入得：3=﹣3a ∴a=﹣1 ∴抛物线的解析式为：y=﹣x2﹣2x+3 （2）解：设直线AB的解析式为y=kx+b， ∵A（﹣3，0），B（0，3）， ∴ ， ∴直线AB为y=x+3， 作PQ⊥x轴于Q，交直线AB于M， 设P（x，﹣x2﹣2x+3），则M（x，x+3）， ∴PM=﹣x2﹣2x+3﹣（x+3）=﹣x2﹣3x， ∴ ， 当 时， ， ， ∴△PAB的面积的最大值为 ，此时点P的坐标为（ ， ）. 16．已知一个二次函数图象上部分点的横坐标与纵坐标的对应值如表所示： （1）这个二次函数的解析式是　 　 ； （2）在给定的平面直角坐标系中画出这个二次函数的图象； （3）当时，的取值范围为　 　． 【答案】（1） （2）解：如图所示： （3） 【解析】解：1、设二次函数的解析式是y=ax2+bx+c代入（0，-3），（1，0）（-1，-4）三点坐标 得 解得a=1，b=2，c=-3 故填：y=x2+2x-3 2、根据描点法画二次函数的图象。 3、图象开口向上，有最小值。 当 有最小值 ∵ ∴，y最小值是-4 根据函数性质，，y随x增大而减小， 当x=-4时，y有最大值 故填： 17．某品牌手机去年每台的售价y（元）与月份x之间满足函数关系：y=﹣50x+2600，去年的月销量p（万台）与月份x之间成一次函数关系，其中1﹣6月份的销售情况如下表： 月份（x） 1月 2月 3月 4月 5月 6月 销售量（p） 3.9万台 4.0万台 4.1万台 4.2万台 4.3万台 4.4万台 （1）求p关于x的函数关系式； （2）求该品牌手机在去年哪个月的销售金额最大？最大是多少万元？ （3）今年1月份该品牌手机的售价比去年12月份下降了m%，而销售量也比去年12月份下降了1.5m%．今年2月份，经销商决定对该手机以1月份价格的“八折”销售，这样2月份的销售量比今年1月份增加了1.5万台．若今年2月份这种品牌手机的销售额为6400万元，求m的值． 【答案】（1）解：设p=kx+b， 把p=3.9，x=1；p=4.0，x=2分别代入p=kx+b中， 得： 解得： ， ∴p=0.1x+3.8 （2）解：设该品牌手机在去年第x个月的销售金额为w万元， w=（﹣50x+2600）（0.1x+3.8） =﹣5x2+70x+9880 =﹣5（x﹣7）2+10125， 当x=7时，w最大=10125， 答：该品牌手机在去年七月份的销售金额最大，最大为10125万元； （3）解：当x=12时，y=2000，p=5， 1月份的售价为：2000（1﹣m%）元，则2月份的售价为：0.8×2000（1﹣m%）元； 1月份的销量为：5×（1﹣1.5m%）万台，则2月份的销量为：[5×（1﹣1.5m%）+1.5]万台； ∴0.8×2000（1﹣m%）×[5×（1﹣1.5m%）+1.5]=6400， 解得：m1%= （舍去），m2%= ， ∴m=20， 答：m的值为20 四、解答题（本大题共3小题，每小题8分，共24分） 18．如图，已知二次函数的图象经过点. （1）求的值和图象的顶点坐标． （2）点在该二次函数图象上. ①当时，求的值； ②若到轴的距离小于2，请根据图象直接写出的取值范围. 【答案】（1）解：把代入，得，解得. ∵， ∴顶点坐标为. (2)解：①∵点在该二次函数图象上， ∴将m=2代入y=（x+1）2+2，即n=（2+1）2+2=11， ②点Q到y轴的距离小于2， ∴|m|＜2， ∴-2＜m＜2， ∴2 ≤ n ＜11. 19．如图，已知抛物线y=x2﹣4与x轴交于点A，B（点A位于点B的左侧），C为顶点，直线y=x+m经过点A，与y轴交于点D． （1）求线段AD的长； （2）平移该抛物线得到一条新拋物线，设新抛物线的顶点为C′．若新抛物线经过点D，并且新抛物线的顶点和原抛物线的顶点的连线CC′平行于直线AD，求新抛物线对应的函数表达式． 【答案】（1）解：由x2﹣4=0得，x1=﹣2，x2=2， ∵点A位于点B的左侧， ∴A（﹣2，0）， ∵直线y=x+m经过点A， ∴﹣2+m=0， 解得，m=2， ∴点D的坐标为（0，2）， ∴AD= =2 （2）解：设新抛物线对应的函数表达式为：y=x2+bx+2，y=x2+bx+2=（x+ ）2+2﹣ ，则点C′的坐标为（﹣ ，2﹣ ）， ∵CC′平行于直线AD，且经过C（0，﹣4）， ∴直线CC′的解析式为：y=x﹣4， ∴2﹣ =﹣﹣4，解得，b1=﹣4，b2=6，∴新抛物线对应的函数表达式为：y=x2﹣4x+2或y=x2+6x+2 20．根据以下素材，探索完成任务． 如何设计喷水装置的高度？ 素材1 如图1为某公园的圆形喷水池，图2是其示意图，O为水池中心，喷头A、B之间的距离为20米，喷射水柱呈抛物线形，水柱距水池中心处达到最高，高度为．水池中心处有一个圆柱形蓄水池，其中高为米． 素材2 如图3，拟在圆柱形蓄水池中心处建一喷水装置，从点P向四周喷射抛物线形水柱且满足以下条件： ①不能碰到图2中的水柱； ②落水点G，M的间距为； ③水柱的最高点与点P的高度差为； ④从点P向四周喷射与图2中形状相同的抛物线形水柱． 问题解决： 任务1：确定水柱形状，在图2中以点O为坐标原点，水平方向为x轴建立直角坐标系，并求这条抛物线的函数表达式． 任务2：探究落水点位置，在建立的坐标系中，求落水点G的坐标． 任务3：拟定喷水装置的高度，求出喷水装置的高度． 【答案】（1）解：如图， 由题意得，右侧抛物线的顶点R的坐标为，点， ∴可设抛物线的表达式为：， 将点B的坐标代入上式得：， 解得：， ∴右侧抛物线的表达式为：； 由图象的对称性得，左侧抛物线的表达式为：． （2）建立如图所示坐标系，设y轴交于点L， 由（1）知，右侧抛物线的表达式为：， 当时，即， 解得：（不合题意，舍去）． ∴． 又， ∴． ∴G的坐标为：． （3）由（1）知，右侧抛物线的表达式为：， 则中间抛物线的表达式为：， ∵水柱的最高点与点P的高度差为， 即：该抛物线的最高点， 解得：， ∴抛物线的表达式为：， 由（2）知，点， 将点H的坐标代入抛物线表达式得：， 解得：， 即． 五、解答题（本大题共2小题，每小题9分，共18分） 21．【定义】在平面直角坐标系中，对“纵横值”给出如下定义：点是函数图象上任意一点，纵坐标y与横坐标x的差“”称为点A的“纵横值”．函数图象上所有点的“纵横值”中的最大值称为函数的“最优纵横值”． 【举例】已知点在函数图象上．点的“纵横值”为；函数图象上所有点的“纵横值”可以表示为，当时，的最大值为，所以函数的“最优纵横值”为7． 【问题】根据定义，解答下列问题： （1）①点的“纵横值”为 ； ②求出函数的“最优纵横值”； （2）若二次函数的顶点在直线上，且最优纵横值为5，求c的值； （3）若二次函数，当时，二次函数的最优纵横值为2，直接写出b的值． 【答案】（1）解：①. ②，∵，∴，∴函数的“最优纵横值”为2. （2）解：由题意得：抛物线的对称轴为直线， ∴， 解得：， ∴， ∴， ∵最优纵横值为5， ∴， ∴. （3）解：， 若，则当时，； 即：， 解得：或（舍去）； 若，则当时，； 即：， 解得（舍）或； 综上所述：b的值为5或． 22．如图所示，已知抛物线经过点A（－2，0）、B（4，0）、C（0，－8），抛物线y=ax2＋bx＋c（a≠0）与直线y=x－4交于B，D两点． （1）求抛物线的解析式并直接写出D点的坐标； （2）点P为抛物线上的一个动点，且在直线BD下方，试求出△BDP面积的最大值及此时点P的坐标； （3）点Q是线段BD上异于B、D的动点，过点Q作QF⊥x轴于点F，交抛物线于点G．当△QDG为直角三角形时，求点Q的坐标． 【答案】（1）设抛物线的解析式为y=ax2＋bx＋c∵抛物线经过点A（－2，0）、B（4，0）、C（0，－8）∴，解得. ∴抛物线的解析式为y=x2－2x－8 点D的坐标为（－1，－5） （2）过P作PE∥y轴，交直线AB于点E 设P（x，x2－2x－8）则E（x，x－4） ∴PE=x－4－(x2－2x－8)=－x2＋3x＋4 ∴S△BDP=S△DEP＋S△BEP= PE·(xE－xD)＋ PE·(xB－xE) = PE·(xB－xD)= PE= (－x2＋3x＋4) =－ (x－ )2＋ ∴当x= 时，△BDP面积的最大值为 此时点P的坐标为（ ，－ ） （3）设直线y=x－4与y轴相交于点K，则K（0，－4）∵B（4，0），∴OB=OK=4，∴∠OKB=∠OBK=45° ∵QF⊥x轴，∴∠DQG=45° 若△QDG为直角三角形，则△QDG是等腰直角三角形①∠QDG=90°，过D作DH⊥QG于H，∴QG=2DH， ∴－x2＋3x＋4=2(x＋1)，解得x 1=－1（舍去）， x 2=2，∴Q1（2，－2） ②∠DGQ=90°，则DH=QH， ∴－x2＋3x＋4=x+1，解得x 1=-1（舍去），x 2=3， ∴P2（3，－1）综上所述，当△QDG为直角三角形时，点Q的坐标为（2，－2）或（3，－1） 六、解答题（本大题共12分） 23．如图，直线y=x+3与x轴交于点A，与y轴交于点B，抛物线y=﹣x2+bx+c经过A、B两点． （1）求抛物线的解析式； （2）点P为抛物线在第二象限内一点，过点P作x轴的垂线，垂足为点M，与直线AB交于点C，过点P作x轴的平行线交抛物线于点Q，过点Q作x轴的垂线，垂足为点N，若点P在点Q左边，设点P的横坐标为m． ①当矩形PQNM的周长最大时，求△ACM的面积； ②在①的条件下，当矩形PMNQ的周长最大时，过直线AC上一点G作y轴的平行线交抛物线一点F，是否存在点F，使得以点P、C、G、F为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点F的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】解：（1）∵直线y=x+3与x轴交于点A，与y轴交于点B， ∴A（﹣3，0），B（0，3）． ∵抛物线y=﹣x2+bx+c经过A、B两点， ∴，解得， ∴抛物线的解析式为y=﹣x2﹣2x+3； （2）①∵点P的横坐标为m， ∴P（m，﹣m2﹣2m+3），PM=﹣m2﹣2m+3． ∵抛物线y=﹣x2﹣2x+3的对称轴为x=﹣=﹣=﹣1， ∴PQ=2（﹣1﹣m）=﹣2m﹣2． ∴矩形PQMN的周长=2（PM+PQ）=2（﹣m2﹣2m+3﹣2m﹣2）=﹣2m2﹣8m+2=﹣2（m+2）2+10， 当m=﹣2时，矩形PQMN的周长最大，此时点C的坐标为（﹣2，1），CM=AM=1， ∴S△ACM=×1×1=； ②∵C（﹣2，1）， ∴P（﹣2，3）， ∴PC=3﹣1=2． ∵点P、C、G、F为顶点的四边形是平行四边形，GF∥y轴， ∴GF∥PC，且GF=PC．设G（x，x+3），则F（x，﹣x2﹣2x+3）， 当点F在点G的上方时，﹣x2﹣2x+3﹣（x+3）=2，解得x=﹣1或x=﹣2（舍去）， 当x=﹣1时，﹣x2﹣2x+3=4，即F1（﹣1，4）； 当点F在点G的下方时，x+3﹣（﹣x2﹣2x+3）=2， 解得x=或x=，当x=时， ﹣x2﹣2x+3=；当x=时，﹣x2﹣2x+3=， 故F2（，），F3（，）． 综上所示，点F的坐标为F1（﹣1，4），F2（，），F3（，）． 试卷第2页，共36页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第二十二章二次函数（B卷·培优卷） 班级___________ 姓名___________ 学号____________ 分数____________ 考试范围：全章的内容； 考试时间：120分钟； 总分：120分 一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 1．已知二次函数 ，关于该函数在﹣1≤x≤3的取值范围内，下列说法正确的是（　　） A．有最大值﹣1，有最小值-2 B．有最大值0，有最小值﹣1 C．有最大值7，有最小值﹣1 D．有最大值7，有最小值﹣2 2．四位同学在研究函数y＝ax2+bx+c(a、b、c为常数，且a≠0)时，甲发现当x＝1时，函数有最大值；乙发现﹣1是方程ax2+bx+c＝0的一个根；丙发现函数的最大值为﹣1；丁发现当x＝2时，y＝﹣2，已知四位中只有一位发现的结论时错误的，则该同学是（　　）. A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 3．将二次函数y＝﹣x2+2x+3的图象在x轴上方的部分沿x轴翻折后，所得新函数的图象如图所示.当直线y＝x+b与新函数的图象恰有3个公共点时，b的值为（　　） A． 或﹣3 B． 或﹣3 C． 或﹣3 D． 或﹣3 4．将抛物线y=x2﹣4x+3向上平移至顶点落在x轴上，如图所示，则两条抛物线、对称轴和y轴围成的图形的面积S（图中阴影部分）是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 5．如图，一段抛物线：y=﹣x（x﹣5）（0≤x≤5），记为C1，它与x轴交于点O，A1；将C1绕点A1旋转180°得C2，交x轴于点A2；将C2绕点A2旋转180°得C3，交x轴于点A3；…如此进行下去，得到一“波浪线”，若点P（2018，m）在此“波浪线”上，则m的值为（　　） A．4 B．﹣4 C．﹣6 D．6 6．如图是抛物线y1＝ax2＋bx＋c(a≠0)图象的一部分，抛物线的顶点坐标A(1，3)，与x轴的一个交点B(4，0)，直线y2＝mx＋n(m≠0)与抛物线交于A，B两点，下列结论：①2a＋b＝0；②abc>0；③方程ax2＋bx＋c＝3有两个相等的实数根；④抛物线与x轴的另一个交点是(－1，0)；⑤当1<x<4时，有y2<y1，其中正确的是（　　） A．①④⑤ B．①③④⑤ C．①③⑤ D．①②③ 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 7．若二次函数 的对称轴为直线 ，则关于 的方程 的解为　 　. 8．在平面直角坐标系中，A点坐标为（﹣1，4），B点坐标为（5，4）．已知抛物线y＝x2﹣2x+c与线段AB有公共点，则c的取值范围是　 　． 9．如图，四边形ABCO是正方形，顶点B在抛物线y＝ax2（a＜0）的图象上，若正方形ABCO的边长为，且边OC与y轴的负半轴的夹角为15°，则a的值是 　 　． 10．对于一个函数，当自变量x取n时，函数值y等于4－n，我们称n为这个函数的“二合点”，如果二次函数y＝mx2+x+1有两个相异的二合点x1，x2，且x1＜x2＜1，则m的取值范围是　 　． 11．某公司新产品上市30天全部售完，图①表示产品的市场日销售量与上市时间之间的关系，图②表示单件产品的销售利润与上市时间之间的关系，则最大日销售利润是　 　元． 12．已知抛物线 ， ，若这两个抛物线与x轴共有3个交点，则a的值为　 　. 三、解答题（本大题共5小题，每小题6分，共30分） 13．在平面直角坐标系中，已知点A（2m+1，7）在抛物线y＝x2﹣（m+2）x+m（m是常数）上． （1）求该二次函数的解析式； （2）当m＞0时，若抛物线y＝x2﹣（m+2）x+m与直线y＝x+n（n是常数）在第四象限内有两个交点，请求出n的取值范围． 14．如图，从某建筑物9米高的窗口A处用水管向外喷水，喷出的水成抛物线状（抛物线所在平面与墙面垂直），如果抛物线的最高点M离墙1米，离地面12米，建立平面直角坐标系，如图． （1）求抛物线的解析式； （2）求水流落地点B离墙的距离OB． 15．如图，已知抛物线经过两点A（﹣3，0），B（0，3），且其对称轴为直线x＝﹣1． （1）求此抛物线的解析式； （2）若点P是抛物线上点A与点B之间的动点（不包括点A，点B），求△PAB的面积的最大值，并求出此时点P的坐标． 16．已知一个二次函数图象上部分点的横坐标与纵坐标的对应值如表所示： （1）这个二次函数的解析式是　 　 ； （2）在给定的平面直角坐标系中画出这个二次函数的图象； （3）当时，的取值范围为　 　． 17．某品牌手机去年每台的售价y（元）与月份x之间满足函数关系：y＝﹣50x+2600，去年的月销量p（万台）与月份x之间成一次函数关系，其中1﹣6月份的销售情况如下表： 月份（x） 1月 2月 3月 4月 5月 6月 销售量（p） 3.9万台 4.0万台 4.1万台 4.2万台 4.3万台 4.4万台 （1）求p关于x的函数关系式； （2）求该品牌手机在去年哪个月的销售金额最大？最大是多少万元？ （3）今年1月份该品牌手机的售价比去年12月份下降了m%，而销售量也比去年12月份下降了1.5m%．今年2月份，经销商决定对该手机以1月份价格的“八折”销售，这样2月份的销售量比今年1月份增加了1.5万台．若今年2月份这种品牌手机的销售额为6400万元，求m的值． 四、解答题（本大题共3小题，每小题8分，共24分） 18．如图，已知二次函数的图象经过点. （1）求的值和图象的顶点坐标． （2）点在该二次函数图象上. ①当时，求的值； ②若到轴的距离小于2，请根据图象直接写出的取值范围. 19．如图，已知抛物线y=x2﹣4与x轴交于点A，B（点A位于点B的左侧），C为顶点，直线y=x+m经过点A，与y轴交于点D． （1）求线段AD的长； （2）平移该抛物线得到一条新拋物线，设新抛物线的顶点为C′．若新抛物线经过点D，并且新抛物线的顶点和原抛物线的顶点的连线CC′平行于直线AD，求新抛物线对应的函数表达式． 20．根据以下素材，探索完成任务． 如何设计喷水装置的高度？ 素材1 如图1为某公园的圆形喷水池，图2是其示意图，O为水池中心，喷头A、B之间的距离为20米，喷射水柱呈抛物线形，水柱距水池中心处达到最高，高度为．水池中心处有一个圆柱形蓄水池，其中高为米． 素材2 如图3，拟在圆柱形蓄水池中心处建一喷水装置，从点P向四周喷射抛物线形水柱且满足以下条件： ①不能碰到图2中的水柱； ②落水点G，M的间距为； ③水柱的最高点与点P的高度差为； ④从点P向四周喷射与图2中形状相同的抛物线形水柱． 问题解决： 任务1：确定水柱形状，在图2中以点O为坐标原点，水平方向为x轴建立直角坐标系，并求这条抛物线的函数表达式． 任务2：探究落水点位置，在建立的坐标系中，求落水点G的坐标． 任务3：拟定喷水装置的高度，求出喷水装置的高度． 五、解答题（本大题共2小题，每小题9分，共18分） 21．【定义】在平面直角坐标系中，对“纵横值”给出如下定义：点是函数图象上任意一点，纵坐标y与横坐标x的差“”称为点A的“纵横值”．函数图象上所有点的“纵横值”中的最大值称为函数的“最优纵横值”． 【举例】已知点在函数图象上．点的“纵横值”为；函数图象上所有点的“纵横值”可以表示为，当时，的最大值为，所以函数的“最优纵横值”为7． 【问题】根据定义，解答下列问题： （1）①点的“纵横值”为 ； ②求出函数的“最优纵横值”； （2）若二次函数的顶点在直线上，且最优纵横值为5，求c的值； （3）若二次函数，当时，二次函数的最优纵横值为2，直接写出b的值． 22．如图所示，已知抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）经过点A（﹣2，0）、B（4，0）、C（0，﹣8），与直线y=x﹣4交于B，D两点 （1）求抛物线的解析式并直接写出D点的坐标； （2）点P为直线BD下方抛物线上的一个动点，试求出△BDP面积的最大值及此时点P的坐标； （3）点Q是线段BD上异于B、D的动点，过点Q作QF⊥x轴于点F，交抛物线于点G，当△QDG为直角三角形时，直接写出点Q的坐标. 六、解答题（本大题共12分） 23．如图，直线y=x+3与x轴交于点A，与y轴交于点B，抛物线y=﹣x2+bx+c经过A、B两点． （1）求抛物线的解析式； （2）点P为抛物线在第二象限内一点，过点P作x轴的垂线，垂足为点M，与直线AB交于点C，过点P作x轴的平行线交抛物线于点Q，过点Q作x轴的垂线，垂足为点N，若点P在点Q左边，设点P的横坐标为m． ①当矩形PQNM的周长最大时，求△ACM的面积； ②在①的条件下，当矩形PMNQ的周长最大时，过直线AC上一点G作y轴的平行线交抛物线一点F，是否存在点F，使得以点P、C、G、F为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点F的坐标；若不存在，请说明理由． 试卷第2页，共36页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$