巧用等和线解题 专题-2024届高三数学二轮专题复习

巧用等和线解题 平面内一组基底向量及任一向量,若点P在直线AB上或者在平行于AB的直线上,那么 ,反之也成立。我们把直线AB以及与AB平行的直线称为等和线。 容易发现: 当等和线恰为直线AB时,k=1, 当直线在点O和直线AB之间时,, 当直线AB在点O和等和线之间时,, 当等和线过点O时,k=0 当等和线与直线AB在点O两侧时,k<0. 深入理解: 在同一平面中相交于原点的两条数轴,如果它们的度量单位相等,称为笛卡尔坐标系,其中两条数轴互相垂直的笛卡尔坐标系,称为笛卡尔直角坐标系,否则称为笛卡尔斜角坐标系.笛卡尔平面直角坐标系是我们平时使用最多的坐标系.那么若两数轴的度量单位不一定相等时就构成了平面仿射坐标系.仿射变换是一种线性变换,能够保持图像的平行性与平直性,借助仿射变换这一特点,我们可以构建仿射坐标系. 已知向量不共线,令方向为x轴正方向,方向为y轴正方向,如图建立仿射坐标系. 若,将向量进行分解后可得x<0,y>0,点P的坐标可以写为(x ,y). 仿射坐标系同样拥有四个象限,其坐标符号与平面直角坐标系一样,第一象限(+,+),第二象限(-,+) ,第三象限(-,-) ,第四象限(+,-). 我们首先研究一下在笛卡尔平面直角坐标系中直线方程截距式在向量基底作用下的几何意义. 如图,{}为平面直角坐标系下的一组单位正交基.点A(a,0) ,B(0,b),直线AB方程为. 设点P(x,y),则又因为A,B,P三点共线,则存在唯一的实数对()使,且 因为,故.所以.即 所以. 通过分析发现,基底作用下向量表示与直线方程的截距式是等价的.那么在仿射坐标系中,我们能否得到相同的结论呢? 如图,为仿射坐标系下的一组基底. 设点P(x,y),则. 又因为A,B,P三点共线,则存在唯一的实数对()使,且. 设, 则.所以.即,所以 通过以上分析同样发现,基底作用下向量表示与直线方程的截距式是等价的.在以为基底的仿射坐标系中,直线AB上的任意点P(x,y)均满足且 利用等和线求解数值k(k>0) 的基本步骤如下: 1. 连接AB,构造直线AB, 2. 连接(有时需要延长)OP交直线AB于点Q,那么k= , 3. 求的取值范围时,在动点P的轨迹内分别作 分别为距离点O最近与最远的平行线,下面记分别为点O到直线 的距离,记为点O到等和线的距离.又由平面几何知识可得因为所以. 例1:给定两个长度为1的平面向量,它们的夹角为,点C在以D为圆心的圆弧上变动,若,其中,则x+y的最大值是_. 解析: 如图所示,点О到直线AB距离d=·记l为距离点О最远的与直线AB平行的平行线,,记d'为点О到直线l距离,则d'=1.所以=2. 所以由等和线结论得x +y的最大值是2. 例2 在ABCD中,E,F分别为CD和 BC的中点,若,则x+y=_. 解析: 如图所示,连接EF,延长AB交直线EF于点B'.因为E,F为中点,所以由等和线结论得x +y==. 变式:在ABCD中,E,F分别为CD和BC的中点, ,则x+y=_. 解析:因为.记线段AF中点为G,连接EG交边AB于点B',则由平面几何知识可得点B'为边AB的中点. 由等和线结论,得x+y=. 例3:正方形ABCD中,E为边AB中点,P是以A为圆心,AB为半径的圆弧BD上的一动点.设 ,则x+y的取值范围为_. 解析:如图所示,过点A作,连接PE'交AC(延长线)于点C’,则,故x+y=,当点P运动到点D时,因为四边形ADEE'为平行四边形,再结合三角形相似,得到 所以 即此时x+y取到最大值5. 当点Р运动到点B时,连接CE,易证得CE//BE'. 因为E为边AB中点, 所以C为边AN中点 所以 即此时x +y取到最小值 综上,x+y的取值范围为 巩固练习: 1. 如图,,点P在由射线OM,线段OB及AB的延长线围成的区域内(不含边界),且,则x的取值范围是_;当时,y的取值范围是_. 2.在平面直角坐标系中,О是坐标原点,两定点A,B满足,则点集所表示的区域的面积是( ). 3.在矩形ABCD中,AB=1 ,AD=2 ,动点Р在以点C为圆心且与BD相切的圆上.若,则的最大值为( ) A.3 B. C. D.2 $$